メンガーのスポンジ ― 2008/10/14 20:17
折り紙の著作権に関する会議への参加で来日していた、フランスの折り紙作家・ニコラス・テリーさんが、穴の空いたルービックキューブ（写真左）を持っていた。（なお、山口真さん主催による同会議には、わたしも参加した。中身の濃い会議だった）
さて。この穴空きルービックキューブは、商品名を「ボイドキューブ」というらしいが、わたしはこれを、「ルービック・メンガー・スポンジ ステップ1」（！）と呼びたい。なんとも仰々しい呼び名だけれど、次のようなことである。立方体に穴を空けることを繰り返すことで得られるフラクタル図形に、メンガーのスポンジというものがある。（メンジャーという表記もあるが、オーストリア人なので、「メンガー」がより相応しいだろう） 残った立方体の部分にどんどん小さな穴を空けていくことになるのだが、このルービックキューブのかたちは、その第１段階、すなわち「ステップ1」なのである。
ルービックキューブには、30年前の登場以来、様々なバリエーションが生まれたが、穴を空けるという発想には意表をつかれた。ルービックキューブの兄弟の中では、本家を除けば最高傑作じゃないだろうか。
メンガーのスポンジと言えば、一昨年の折り紙の科学・数学・教育国際会議のときには、ジニー・モズリーさんが大量の名刺でつくったオブジェも観た。写真右がそれだ。
何年か前に一般紙でも報道された、大阪大学・宮本研究室と信州大学・武田研究室による「フォトニック・フラクタル」もメンガーのスポンジだった。実に面白い（某ドラマ風）
さて。この穴空きルービックキューブは、商品名を「ボイドキューブ」というらしいが、わたしはこれを、「ルービック・メンガー・スポンジ ステップ1」（！）と呼びたい。なんとも仰々しい呼び名だけれど、次のようなことである。立方体に穴を空けることを繰り返すことで得られるフラクタル図形に、メンガーのスポンジというものがある。（メンジャーという表記もあるが、オーストリア人なので、「メンガー」がより相応しいだろう） 残った立方体の部分にどんどん小さな穴を空けていくことになるのだが、このルービックキューブのかたちは、その第１段階、すなわち「ステップ1」なのである。
ルービックキューブには、30年前の登場以来、様々なバリエーションが生まれたが、穴を空けるという発想には意表をつかれた。ルービックキューブの兄弟の中では、本家を除けば最高傑作じゃないだろうか。
メンガーのスポンジと言えば、一昨年の折り紙の科学・数学・教育国際会議のときには、ジニー・モズリーさんが大量の名刺でつくったオブジェも観た。写真右がそれだ。
何年か前に一般紙でも報道された、大阪大学・宮本研究室と信州大学・武田研究室による「フォトニック・フラクタル」もメンガーのスポンジだった。実に面白い（某ドラマ風）
コメント
_ Joker ― 2008/10/14 22:03
_ maekawa ― 2008/10/19 10:01
メンガー多様体なるものがあるのは、意外でした。微分不可能な多様体ですか。
_ Joker ― 2008/10/20 21:32
普通の意味では、多様体と呼ばないのだと思います。局所的にユークリッド空間と同相ではないので。メンガー多様体の歴史も発展もよく知らないのですが、ふつう微分構造は入れて考えないのではないか。ただ、昔、シェルピンスキーガスケット上の解析学の試み…みたいな論文をちらっと見たことがあるので、なにかやり方があるのかもしれません。案外無理して余計な構造を上乗せすると、ポアンカレ予想のように見通しが良くなるのかもしれませんね(笑)。
メンガースポンジの持つ面白い性質のひとつに等質というのがあります。証明は大変なのですが、端の方の点と中の方の点と、位相的には周りの状況が同じである、どこにも特殊な点がないという性質です(正確に書くと、メンガースポンジ上の任意の点をメンガースポンジ上の任意の点に移す自己同相写像が存在する)。手品の小道具で裏返せるスポンジボールがありますが、ちょうどあんな感じで変形できるわけです。
似て非なるもの。正四面体から正八面体をくりぬいて、できた4つの正四面体からまた正八面体をくりぬいて、…各面がシェルピンスキーガスケットになっているオブジェをつくることができます。勝手にシェルピンスキーのスポンジと呼んでいます。見る角度によって中身の詰まった正方形に見える所が好きなのですが、これは等質ではありません。
メンガースポンジの持つ面白い性質のひとつに等質というのがあります。証明は大変なのですが、端の方の点と中の方の点と、位相的には周りの状況が同じである、どこにも特殊な点がないという性質です(正確に書くと、メンガースポンジ上の任意の点をメンガースポンジ上の任意の点に移す自己同相写像が存在する)。手品の小道具で裏返せるスポンジボールがありますが、ちょうどあんな感じで変形できるわけです。
似て非なるもの。正四面体から正八面体をくりぬいて、できた4つの正四面体からまた正八面体をくりぬいて、…各面がシェルピンスキーガスケットになっているオブジェをつくることができます。勝手にシェルピンスキーのスポンジと呼んでいます。見る角度によって中身の詰まった正方形に見える所が好きなのですが、これは等質ではありません。
_ maekawa ― 2008/10/21 00:31
「等質」ということと、多様体であることは、漠然とはむすびつきました。「シェルピンスキーのスポンジ」(仮）とメンガーのスポンジの違いからは、エッシャーの『Flatworms』という版画を連想しました。正四面体と正八面体からなる、いわば「オクテットトラス煉瓦」の空間に棲みついているプラナリアたちを描いた版画です。あの絵の世界そのものにはフラクタルな構造があるとは言えませんが、普通には直交する煉瓦を正四面体と正八面体にするだけで異様な世界になる、というアイデアが中心にある絵です。ジャングルジムをフラクタル化したのがメンガーのスポンジなら『Flatworms』の世界をフラクタル化したのが「シェルピンスキーのスポンジ」(仮）といった感じで、「等質」にならないのもなんとなく想像できました。
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メンガースポンジは、修士論文のテーマでした。いわゆる病的なフラクタル集合の中で、メンガースポンジはトポロジー的に面白い性質があって、ある意味でユークリッド空間などとよく似た性質を持っています。たとえば、局所的にメンガースポンジと同相なメンガー多様体なるものを作ることもできます。
私が研究したのは、メンガースポンジ上の力学系について。Gottschalk予想のメンガースポンジ版というもので、40年以上未解決の問題でした。力学系の性質でミニマルというのがあるのですが、さて、メンガースポンジ上にミニマルな同相写像は存在するか、というのが課題です。あれこれ手を尽くして、結局、肯定的な解決には至らなかったのですが、ファミリーレストランで徹夜して、1000枚を超える下書きを書いて、結局15枚の論文を書いたのを覚えています。熱い日々。
もういちど燃えたいなあと思いながら、現在は趣味で駄洒落の研究をしています。