折り紙作品(固定記事:最新記事はこの下)2038/01/18 18:51

自分で折った作品の写真数点を、冒頭に載せておくことにしました。

Devil&Pyramid
Devil & Pyramid
悪魔(設計:1978 正方形)、ピラミッド(設計:1993 正方形)

Peacock
Peacock
孔雀(設計:1993 正方形)

Beetle
カブトムシ(設計:1994 正方形)

Turkey
七面鳥(設計:2005 正方形)

Sections of the Cubes
立方体の断面(設計:2000 特殊用紙形)

オリガミの魔女放映時間など2017/12/09 09:14

第8話の放映時間が変わったそうです。

★東海・近畿ブロック
愛知、三重、岐阜、滋賀、京都、大阪、兵庫、奈良、和歌山
12月9日(土)放送なし
12月17日(日)0:30-0:45 (12月16日深夜)

★それ以外の地域
12月9日(土)16:45-17:00 初回放送
12月17日(日)0:30-0:45 (12月16日深夜)再放送

◆ジョージア国旗
Fractal Georgia Flag
ジョージア(グルジア)の国旗が、フラクタルぽいなと思ったので、フラクタル化してみた。深い意味はない。

 ◆ボロミアン八面体
Borromean Octahedron
ボロミアンリング構造の正八面体をいろいろ試してみた。ただの舟のようなもの6枚(黒、黄、灰)でも、小さくて摩擦が強い紙だとけっこう安定する。
下のX型の特殊用紙で組むものがきれいで一番気に入っている。

星の賽2017/11/30 00:02

stella octangula
ドイツ文学と思想史の研究者・長谷川晴生さんのTwitterで、トートナウベルクという村のハイデガーの山荘の近くに、多面体の意匠のついた「星の賽の井戸」なるものがあることを知った。

この立体は、幾何学の用語では、stella octangula(星型八面体)と呼ばれるものだ。星の賽(sternwürfel)という言葉(訳語もいいねえ)は、ハイデガーの山荘を訪ねたツェランの詩『トートナウベルク』にでてくるものである。この言葉がいつからあるのかはわからないが、ここでsternwürfel すなわち star dice(cube)という言葉が使われているのは「適切」だなあと思う。単に立体という意味でdice(cube)なのかもしれないが、この立体は立方体と相性がよいのだ。

この立体の8個の凸頂点は、立方体の頂点と一致し、凸になっている稜(辺)は、正方形の対角線と一致する。したがって、この立体を立方体から削り出すのは難しくない。立方体の12個の稜を「く」の字型に削ればよいだけなのだ。

長谷川さんも指摘しているように、ハイデガーを訪ねて、この井戸に遭遇したユダヤ人のツェランには、これがダビデの星に見えたに違いない。意味深長な象徴性で、ナチス党員になったこともある哲学者と、自身も強制収容所に送られ、両親をそこで亡くした詩人の対面に対する感慨がわきあがるのと同時に、わたしには、この幾何立体の歴史への興味もわいた。この井戸の来歴や、この装飾のいわれはなんなのだろうかということである。

この立体は、ケプラー(1571-1630)の発見と言われることが多いが、『多面体』(P. R. クロムウェル、下川航也他訳)に「パチョーリやヤムニッツァーなど、以前から知っていたものも多かったようである」とあるように、より古くから知られていた立体であると考えられる。パチョーリ(1445-1517)とダ・ヴィンチ(1452-1519)は親交があり、画家がこの立体の絵を描いているので、ダ・ヴィンチの星と呼ばれることもある。ただ、ケプラーが自ら見つけたのもたしかなようで、16世紀以前にドイツで知られていたかたちとは思えない。 案外、これは、ケプラーへの敬意もあって、ドイツにあるものなのかもしれない。

昭和のくらし博物館など2017/11/28 21:56

◆昭和のくらし博物館
先週の休日、大田区南久が原にある昭和のくらし博物館に行った。高野文子さんの原画展が開催中である。原画展のほかに、「山口さんちの子ども部屋」という展示も高野さんが手がけていて、展示物の中に、内山光弘(こうこう)さんの「光弘式折紙」もあった。

昭和のくらし博物館自体も面白かった。戦後すぐにできた木造の民家がそのまま博物館になり、そこで育った、生活史研究家の小泉和子さんが館長をつとめている。

世田谷区東南部にあるわたしの実家は、この博物館から遠くない。この日も実家に行くのに合わせて寄った。コンクリ製の片屋根のゴミ入れ、庭の井戸、廊下、縁側、柿の木などに、少年時代の実家の風景がよみがえった。袋小路の道が多い町割りもそっくりだった。ともに武蔵野台地の崖線付近に位置し、同じような時期に宅地化が進んだ土地だからだろう。

◆ボロミアンキューブ
ボロミアンキューブ
数日前に書いたボロミアンリングの構造は、正八面体と双対関係(面の中心を結ぶと互いの立体になる)の立方体にも適用できる。似たようなことは試したことがあったが、単純に考えたところ、昔からあったようなというか、予定調和というか、きれいなのものができた。1:4の長方形3枚による立方体である。既にあったであろう感がフルレンジに強いのだが、記憶を探っても、この造形自体は、でてきそうででてこない。面が割れないようにするのが「正解」で、パズル的な面白さもある。

◆映画
『ブレードランナー2049』(わたしの折り紙モデルがでてくる)、『KUBO』(折り紙ぽい術がでてくる)、『ギフテッド』(見逃したくない数学天才もの)と、観たい映画が多いのだが、観る時間をつくることができない。

オリガミの魔女と博士の四角い時間など2017/11/24 23:00

第7話が、明日11/25(土)に放映されます。布施知子さん回です。
12月は、放映時間が変則。

第7話「雪のふる夜」11/25(土)22:45-23:00
 (再)12/2(土)0:45-1:00、12_/30(土)15:45-16:00

第8話「サンタとトナカイ」12/9(土)16:45-17:00
 (再)12/17(日)0:45-1:00

◆正八面体とボロミアンリング
11/18-19に参加した「折紙探偵団静岡コンベンション」での収穫のひとつは、田中将司さんによる、大きさが変わる輪だった。これを組み合わせると正八面体ができる。つくりかたはとてもエレガントだ。

田中さんは2個を使って正八面体にしていた。「対称的にするには輪は3個ですよね」と言うと、「3個の輪だと、絡ませなければならないんですよね」との返事だった。じっさい、絡ませなければならない。そして、対称的な絡ませかたは、「ボロミアン・リング」になる。これがちょっと面白かったので、以下に詳細を示す。

ボロミアンリングに関しては、以前このブログに「オリンピアンとボロミアン」という話を書き、『折る幾何学』には、模様がボロミアンリングになるユニットの立方体も載せた。

田中リング

写真左上の絡ませかたが、ボロミアン・リングである。三つの輪が、ふたつ同士の絡みがないのに、全体で絡まっている。

ただし、これとボロミアンリングが同じであることは、ぱっと見た目では、わかりにくいかもしれない。ボロミアンリングの典型的な図は、下の「三輪違い」であり、名前の由来であるボロミア家の紋もこのかたちだ。

ボロミアンリング

これと、上の輪の絡まりかたは、ほんとうに同じなのか。同じであることは知っているのだが、「実験的」に確かめてみた。輪ゴム三つを使い、ひとつだけ切り、再度つなげてからませてボロミアンリングをつくる(写真上左)。これを立方体にかける。すると、ふたつの輪の関係でいうと「土星と輪」の関係になっているかたちにすることができる。(写真下)
ボロミアンリング(別角度)

◆折鶴ネコ
折鶴ネコ
折鶴に乗ったネコという造形は、我がコレクション(!)の中にほかのタイプのものがあるのだが、昨日、別のタイプのものを見つけた。なにがなんだかわからない造形ではある。

紙燭と藤原定家、そして、「紅旗征戎非吾事」のこと2017/11/18 00:10

以下、『折紙探偵団』の記事のために、江戸時代の奇術を調べていてわかったことからの、こぼれ話である。

『続懺悔袋』(ぞくざんげぶくろ、1727、環中仙(かんちゅうせん))という、江戸中期の座敷芸・奇術指南書に「はしを紙そくにて折ル」というものがあった。「紙そく」は紙の束のことなのか、折り紙的な奇術の話題として使えるかと、わたしの「折り紙アンテナ」にかかったわけである。

しかし、「紙そく」というのは、紙燭、脂燭などと書く、室内灯火の一種なのであった。細く縒った紙などに油を染み込ませたものである。ちなみに、「紙そくにて箸を折る」のタネ明かしは、それを湿らせて鞭のように勢いよく振ると箸を折ることができるというものだった。

...という知識を得た数週間後、『定家明月記私抄』(堀田善衛)を読んでいると、脂燭でひとを叩いたという話がでてきた。江戸の奇術からさかのぼることおよそ500年、九条兼実の日記『玉葉』に、藤原定家の若き日の、以下の話が記されているという。
伝へ聞ク、御前試夜、少将雅行ト侍従定家ト闘諍(トウジョウ)ノ事有リ。雅行定家ヲ嘲哢スルノ間、頗(スコブ)ル濫吸(ランスイ)ニ及ビ、仍(モッ)テ定家忿怒ニ堪ヘズ、脂燭ヲ以テ打チ了ンヌ。

雅行は、あまり歴史に名を残してはいないが、源雅行という、定家より年少だが官位は高いひとである。濫吸(ランスイ)というのは、場違いな狼藉のことで、御前試(ゴゼンのココロミ)というのは、新嘗祭の儀式のひとつだ。

これは、宮廷行事の日、定家(二十四歳)が侮辱され、灯芯を振り回して、自分より位の高いの青年(十九歳)を叩いたという話だ。その後、定家は除籍処分も受ける。

なお、『玉葉』の表記は「脂燭」のようで、平安時代後期のそれが紙でできていたのかは不明だ。当時の紙の貴重さを考えると、違うような気もする。

若き定家のこの癇癪は、有名な話のようだ。好事家・環中仙はシャレの効いた人なので、奇術本『続懺悔袋』にも「箸を紙そくにて折ル術の源は、歌聖・定家にあり」と書きそうだな、とも思ったのだが、そんなことはないのであった。

この事件は、文治元年(1185年)十一月のことである。「御前の試み」は、いまは無くなった行事のようだが、十一月の中旬の寅の日と決まっていた。むろん太陰太陽暦(いわゆる旧暦)である。
(11/21追記:堀田さんの『玉葉』の引用と思われる記述では、文治元年十一月二十五日とあったが、あらためて計算してみると、文治元年十一月中旬の寅の日は、1185年12月6日の壬寅、十一月二十三日であった。これに基づき、上の文は、すこし変えた。日記の『玉葉』の日付が十一月二十五日で、事件自体は二十三日ということと思われる)

そういえば、明日18日(あ、もう今日か?)は二の酉だが、熊手を売る酉の市の決めかたは、すこし奇妙なものになっている。年末近くの行事ということが重要なので無理もないのだが、太陽歴の11月に含まれる酉の日という、新旧折衷なのだ。もちろん、これも、もとは旧暦の十一月だ。今年のように閏月のある十三ヶ月の年ではずれは大きくなる。旧暦だと今はまだ九月末なので、正統の酉の市(?)は、実はまだまだ先だ。一の酉が12月24日(旧暦十一月七日 乙酉)で、二の酉が1月5日だ。年が開けてもまだ十一月と考えると、締め切りを日延べした感じになって、すこしうれしい。

などと、話がずれていったついでに、以下、『明月記』の話である。

なぜ『定家明月記私抄』を読んでいたかというと、これは奇術の歴史への興味とはなんの関係もない。『明月記』は、天体現象や気象現象の記述が多いことでも知られ、それはそれで面白いのだが、今回は、そういう関心でもない。震災以降に強くなった、戦中の日記を読みたい気分の延長線で読んでいたのだ。『明月記』もまた戦乱の時代(源氏vs平家)の日記なのだ。ただし、『明月記』における戦乱の扱いは、以下の言葉が通奏低音となっていることで知られる。
世上乱逆追討雖満耳不注之 紅旗征戎非吾事
(世上乱逆追討、耳ニ満ツトイヘドモ、之ヲ注セズ。
紅旗征戎、吾ガ事ニ非ズ。)
(反逆者を討つという話が耳にはいってくるが、それは記さない。天皇の旗を揚げて夷狄を征することは、わたしの関与することではない)

白楽天(白居易)の「紅旗破賊非吾事」を援用した言葉である。キレて、脂燭を振り回すひとにしては、随分とクールな書きぶりだが、芸術至上主義者・定家のイメージを決定づけた言葉として知られる。堀田善衛さんは、戦中、この言葉に胸を射抜かれたという。
自分がはじめたわけでもない戦争によって、まだ文学の仕事をはじめてもいないのに戦場でとり殺されをかもしれぬ時に、戦争などおれの知ったことか、とは、もとより言いたくても言えぬことであり、それは胸の張裂けるような思いを経験させたものであった。
(『定家明月記私抄』-序の記-より)

氏が戦後に、朝鮮戦争時のアンガージュマン(コミットメント)の問題をテーマにした『広場の孤独』で筆名を高めることになるのも、「吾ガ事ニ非ズ」をどう考えるかということの別の面とも言える。なお、堀田さんは、『方丈記私記』でもそうだったが、『定家明月記私抄』でも、定家にたいして、けっこう批判的な視点もある。

さらに、もとの白楽天(白居易)の詩を見ると、自己憐憫の趣きもあって、またニュアンスが異なっていた。
紅旗破賊非吾事
黄紙除書無我名
唯共嵩陽劉處士
圍棋賭酒到天明
(旗を掲げて敵を破ることは、わたしの務めではない。詔書には、わたしの名はない。ただ、嵩陽(地名)の無位の劉さんと共に、酒を賭けて、夜明けまで碁を打っている)

まあ、定家も白楽天もエスタブリッシュメントなんだよね。

凧型二十四面体 -高い近似-2017/11/10 00:23

一週間ほど前に記した、ユニット折り紙の「凧型二十四面体」をつくってみた。以前つくった記憶はあるのだが、メモが見つからないので、同じものかどうかはわからない。というより、想像と記憶よりきれいにできたので、昔つくったのものとは、違うような気がする。
凧型二十四面体

球に内接する、面の多い立体なので、ころころと可愛らしい。
なお、凧型二十四面体の折り紙には、わたしの知る限り、川村みゆきさんの作例がある(『多面体の折紙』)。それは、ここで紹介するものとは異なるが、しっかり組めて、外側の面に余計な折り目のでない、優れたモデルである。

ここでは、凧型を内接させる長方形を考え、それを基本にした。この長方形の縦横の比(すなわち、凧型の対角線の比)は、2:1.7927...になる(図)。

この比率は、1:2の単純な長方形から、工程数少なく、高い近似で折り出せる。(図の下:(5-√2)/2=1.7928...)
凧型二十四面体の面

さらに、√(31-8√2)/7=0.6338...を、やや精度の低い近似だが、(√2+1)/4=0.603...で近似してしまう。すると、1:2の長方形を使って、工程数少なく、無駄な折り目のないモジュールをつくることができた。ポケットとフラップも悪くない感じで、無理なく組める。24個同じものをつくるので、簡単に折ることができるのはよい。

面白いのは、凧型の短い対角線の長さを2としたときの、長い対角線1.792...の近似である。(5-√2)/2が、できすぎなほどに精度が高いのだ。

この近似は、ふつうサイズの紙を使うと、紙の厚さより一桁以上低い精度である。完全一致と一瞬思ったほどである。しかし、二重根号は、√(a±2√b)と変形して、a^2-4bが平方数でないとはずせないので、ふたつの長さの二重根号をはずすことはできない。無理数の和が有理数になることはあるが、二重根号の和で二重根号がとれるということがあるとも思えない。まあ、それ以前に、じっさい、数値は微妙に違うのであった。これには、マーティン・ガードナー氏のエイプリールフールねた「e^π√163は整数になる」を連想した。
(じっさいは、262537412640768743.99999999999925...)

なお、余計な折り目がつくために採用しなかったが、対角線の交点から鈍角の頂点の長さ√(31-8√2)/7=0.63384...も、近似による長い対角線の√2/4で近似(作図、工程は難しくない)すると、(5√2-2)/8=0.63388..と、これまたびっくりの、精度の高い近似になる。

ちなみに、凧型の短辺と長辺の長さの比は、じっさいに、うまく二重根号がとれて、2 : 4-√2になる。

こうした対称性の高い立体の比率を確認していると、うまいぐあいに式が整理できるなあと思うことと、なんでこんな面倒な式のままなのだと思うことの2種類の場合がある。この立体の場合は、微妙に複雑だなあ、という感想だ。しかし、二重根号の値が「きれいじゃない」と思うのも、また色眼鏡だろう。この凧型の対角線にでてくる二重根号の式は、√(a±2√b)のかたちにすると、いずれもa=b-1であり、かつbが2の累乗である。「理屈」はわからない(ひねり出せない)が、きれいといえばきれいである。

クマノミズキなど2017/11/06 22:03

◆クマノミズキ、Trie、トライ木
クマノミズキ
クマノミズキの実の落ちたあとの果柄(カヘイ)が、サンゴのようだった。よく見ると、枝は三つずつに分かれているようにも見える。そういえば、和紙の原料として知られるミツマタ(三椏)も、その名のとおり三又である。

関連して思い出したのが、9月末に京王線・調布駅前(駅上)にオープンした商業施設の名前である。これは「Trie」(トリエ)という。ABC3館からなることを3本の樹に見立てた造語だそうだ。しかし、ここには、すこしややこしい話がある。情報処理用語に、まったく同じ綴りのtrieというものがあるのだが、これは、三分木(さんぶんぎ:ternary tree:三又の木構造)のことではないのだ。

情報処理用語のtrie(日本語では「トライ木(き)」という場合が多い)も、木(tree)のシャレからの造語である。だが、調布駅の、「三つの」を意味する接頭辞の「tri」とは違って、「retrieval(検索)」という単語の中に含まれる「trie」をかけた言葉であるという。

たとえば、辞書ソフトウェアでorigと入力すると、original、originなど、10個以上の候補が出てくる。「orig」というノード(分岐点)に10個以上の枝分かれがある木の構造になっているということだ。そして、origaまで入力するとorigamiに絞られる。このように、各ノードが、終端ノードの部分列に対応するような木構造をtrie(トライ木)という。

しかし、話はこれで終わりではない。二転して、さらに、ややこしい話がある。trieを実装、すなわち、プログラムとして作り込むさいに、三分木を使った、ternary search tree(三分探索木)を使うと効率的なのである。

◆鰹木?
鰹木?
「木」は「木」だが、まったく違う話である。
先日、某神社で面白いものを見た。屋根を見ると、鰹木(かつおぎ:棟の上にそれと直角に並ぶ木)があって、千木(ちぎ:棟の両端のX印)がない。ただし、棟に並んでいた鰹木は鳩であった。できることなら棟の両端で、翼を広げて千木を真似てほしいと思って見ていると、右端の鳩がちょっとそんな感じに羽ばたいた。

『ゴースト』と『すべての見えない光』2017/11/05 20:29

紙飛行機
○○警察という言葉がある。フィクション中の○○の描写の正確さをチェックするひとのことだ。微に入り細を穿って難癖をつけるのは、よい趣味とは言えない。しかし、専門の折り紙となると、描写が気になってしまう。「折り紙警察」である。困ったもんだ。ただし、よい悪いというものではなく、それをきっかけにしてさまざま考えました、というような話である。

中島京子さんの『ゴースト』の第三話、「きららの紙飛行機」に、その題名のとおりに、紙飛行機が出てきた。敗戦直後の浮浪児の幽霊が、現代のネグレクトされた幼女を守る切ない話である。他の話も、ひとが生きたことが忘れ去られることの哀しみを描き、現代のアクチュアルなテーマにもつながっている。

少年は、キャラメルの包み紙で、そして、チラシを正方形にして、紙飛行機を折る。後者は、以下のように描写される。
ケンタはさつきフェスティバルの会場でもらったチラシを、斜めに折って三角形を作り、はみ出した部分を折って爪でしごくようにして筋をつけてから切り離した。そして一度斜めに折ったものを開くと、正方形ができていることを、きららに見せてやった。
「おっきい四角ができたろ。そしたら、さっきみたいにまずまんなかで折ってさ、それから三角を二つ作って。こっちとこっちを折って、それから、ここが大事なんだ。ここをちゃんと折んないと、飛ばないんだぜ」
まず、紙飛行機を長方形ではなく正方形にしてから折ることが珍しい。ただ、ケンタは、キャラメルの包み紙(だいたい正方形である)でもそれを折るので、正方形からの折りかた以外を知らないのかもしれない。気になるのは、どのような折りかたかということだ。カバーのイラストレーションは本文の描写にそっているとは必ずしも言えないが、それも参照すると、ここで折られた紙飛行機は、図の一番上のようなものと読み取れなくもない。ちなみに、イラストレイターは河合いづみさんで、野中ユリさんの仕事を彷彿とさせる、魅力的な絵である。

さて、図の一番上のかたちだが、残念ながら、これはうまく飛ばない。揚力に対して、重心がうしろにありすぎて回転してしまうのだ。これを解決するためには、2段目のように、あらかじめ1/6ほど細く折るか、3段目のように巻きこむように折って、機首を重くするとよい。キャラメルの包み紙のような小さい紙でも同様であることは、じっさいに試してみた。4段目のように、翼の後方の面積を大きくするために、翼の折り返しを軸と平行にするという方法もある。河合さんのイラストレーションにプロポーションが一番近く、よく知られたものは、図の一番下の「ヘソヒコーキ」だが、これは、長方形から折るものである。
結論としては、2段目か3段目を「ケンタの飛行機」とするのがよさそうだ。

フィクション中の紙飛行機ということでは、妻が、ちょうど読み終わった「『すべての見えない光』(アンソニー ・ドーア著、藤井光訳)にも、紙飛行機がでてきたよ」と教えてくれた。「見えない光」というのは電波のことで、裏表紙の惹句に、「ラジオから聞こえる懐かしい声が、盲目の少女と若い兵士の心をつなぐ」とある小説だ。わたしは読んでいないのだが、紙飛行機の部分を引用する。
息子のマックスは、今では六歳、泥や、犬や、答えようのない質問が大好きだ。最近ではなによりも、複雑な形の紙飛行機を折ることに夢中になっている。学校から帰ってくると、台所の床にひざをつき、翼端や尾部や機首をあれこれ試しては品定めをしているが、要は紙を折るという動作、平らのものを飛べるように変形させることが大好きなように見える。
「紙を折るという動作、平らのものを飛べるように変形させることが大好き」とな! すばらしい。

凧三角、四角、六角、空、硝子2017/11/01 23:50

凧
凧三角、四角、六角、空、硝子
芥川龍之介(1916)

多数の凧が飛ぶ空、そして、それらが陽光に煌めくさまを、切子硝子、ステンドグラス、万華鏡などに見立てたと思われる句で、かっこいい。俳句に読点があるのも珍しい。

図形が乱舞する空は、芥川の絶筆小説である『歯車』(1927)の幾何学的幻覚、「次第に數を殖やし、半ば僕の視野を塞いでしまふ」「絶えずまはつてゐる半透明の歯車」も連想させる。なお、この幻覚は、偏頭痛患者が見る「閃輝暗点」として典型的なものらしい。

この句の凧をリアルな描写と見ると、四角や六角はともかく、三角の凧はあったのかが気になる。webを検索しても、伝統的な凧に三角形のものはでてこない。2種の辺を持つ左右対称の四辺形、いわゆる「凧型」を、一瞥の感覚で「三角」としたのかもしれない。句としても、三角、四角、六角と並べないと、リズムがでない。

外されてしまった凧型だが、これは幾何図形として面白い。たとえば、合同の凧型からなる多面体に、凧型二十四面体と凧型六十面体がある。凧型二十四面体は、ユニット折り紙でつくったこともある。その面は、4つの角度のうち3つが等しい(cosθ=(2-√2)/4となるθで81.5789...°)という対称性もあるのだが、なかなかに面倒な比率なので、あまりエレガントなものにはならなかった。六十面体は黄金比に関連する比率がでてくる凧型で、さらに面倒である。