ヴァリニョン畳紙(?)2011/11/06 00:39

ヴァリグノンの平行四辺形
『偏愛的数学II 魅惑の図形』(A. S. ポザマンティエ & I.レーマン著  坂井公 訳) を読んでいて、任意の四辺形の辺の中点を結ぶと平行四辺形になる(図左上)という定理に、「Varignonの平行四辺形」という名前がついていることを知った(Varignon(ヴァリニョン)は17-18世紀の数学者)。いわゆる「三角形の中点連結定理」の応用で、高校の入学試験あたりにでてきそうなものだが、鮮やかな定理である。

この定理の特殊な場合として、次のことがある。
・四辺形の2本の対角線が等しいとき、中点を結んでできる四辺形は菱形になる。
・対角線が直交しているとき、中点を結んでできる四辺形は長方形になる。
・上のふたつが満たされるとき、中点を結んでできる四辺形は正方形になる。
菱形になる四辺形には、長方形や等脚台形などがあるが、長方形でも等脚台形でもない、一見なんの特徴もなさそうな四辺形(上段中写真)がこうした条件を満たしていると、その四辺形には、隠れた特徴を持った「世を忍ぶ仮の姿」の風情がある。そして、正方形になる場合の隠れた特徴を確認する、じつに「折り紙的」な方法があることに気づいた。対角線の交点に合わせて「ざぶとん折り」をすると、正方形になるのだ(右上写真)。これがなかなかきれいなので、この特徴を使って、畳紙(パッケージ)をつくってみた。名づけて、「ヴァリニョン畳紙」(なんのこっちゃ)(中段写真:長方形用紙と正方形用紙)である。(←この段落、11/11 一部、正しくない表現を修正

四辺形に内接する四辺形といえば、長方形に内接する菱形に関して、次のようなこともある。以前、菱形十二面体の折り紙モデルをつくっているときに気づいたことだ。
長方形に内接する菱形は、中点を連結したものが面積最小になり、長方形の頂点と菱形の頂点が一致するものが面積最大になるのだが、これらの菱形はすべて相似なのだ(図下段)。菱形の対角線の比が外の長方形の辺の比になることはすぐに示せるので、当たり前と言えば当たり前なのだが、これを見つけたときは、ちょっと意外の感があった。


なお、『偏愛的数学II 魅惑の図形』には、以前このブログに書いた「完全直方体」が不可能であることが証明されていた旨のことも書いてあった。

後記(2012/06/19) :座右の書でありながら、きちんと読んでいない『幾何学入門』(H.S.M.コクセター著 銀林浩訳)をぱらぱらとめくっていて、Varignonをカタカナ表記すれば、ヴァリグノンではなくヴァリニョンであるということに気がついたので、表記を修正した。

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