『千代紙 折紙』 ― 2011/02/06 22:22
ひとつ前の記事に書いたように、『数（日本の名随筆89）』の一編を再読したのだが、『日本の名随筆』というのは、『日本の名随筆』（本巻）と『日本の名随筆・別巻』の各百巻からなるアンソロジーシリーズである。1980年代から1990年代に編まれたもので、本巻は『花』『鳥』など一文字、別巻は『映画』『骨董』など二文字のタイトルがつく。
このシリーズで、既に持っていたものは、『紙』『数』『石』『野球』であった。『石』は最近買ったものだ。われながら、たいへんわかりやすいラインナップだと、笑ってしまった。
昨日、本巻の『宙』『藝』、別巻『星座』を入手した。『藝』をもとめたのは、ウェブのリストを見ていて、『千代紙 折紙』（芝木好子著）という一編があることを知ったためである。芝木さんが河合豊彰さんを訪ねた話が記されていた。
このシリーズで、既に持っていたものは、『紙』『数』『石』『野球』であった。『石』は最近買ったものだ。われながら、たいへんわかりやすいラインナップだと、笑ってしまった。
昨日、本巻の『宙』『藝』、別巻『星座』を入手した。『藝』をもとめたのは、ウェブのリストを見ていて、『千代紙 折紙』（芝木好子著）という一編があることを知ったためである。芝木さんが河合豊彰さんを訪ねた話が記されていた。
なにごとにせよ、初めに創り出すことが大変であり、意義があるのは言うまでもない。模倣は少しも苦労ではない。河合氏は今の具象から次第に抽象へゆきたいと考えているそうである。しかし、どの道一枚の四角い色紙のなかからあらゆる可能性を引出して、一つの造形のゆきつくのだから、新しく生まれたものを手にする時の思いは格別だろう。（『千代紙 折紙』芝木好子著 『杏の花」1977より）
四角の中の五角 ― 2011/02/07 21:47
以前、『堀内正和 アトリエのない彫刻家』展（ギャラリーTOM 2006）で、『四角の中の五角』と題された彫刻作品の雛形をみた。四角錐を切断し、その切断面を正五角形にしたものだ。ありそうでなかった（すくなくともわたしは、ほかで見たことがない）もので、「さすが堀内さん」と思ったのだが、細かい比率を確認しないままになっていた。ふと思い出して、計算してみたところ、以下だった。
四角錐は、側面が正三角形のもの（つまり正八面体を半分にしたもの）である。
底面と切断面の二面角は、tanθ=1/φ（φは黄金比）となるθ（約31.7度）である。
四角錐が「素直な」比率だったのは、ちょっと予想外だった。
四角錐は、側面が正三角形のもの（つまり正八面体を半分にしたもの）である。
底面と切断面の二面角は、tanθ=1/φ（φは黄金比）となるθ（約31.7度）である。
四角錐が「素直な」比率だったのは、ちょっと予想外だった。
四角の中の五角 その２ ― 2011/02/09 21:30
図は、堀内正和さんの『四角の中の五角』をふたつ合わせただけのものだが、くさび状になると、また違った印象になった。
『四角の中の五角』といえば、アメリカ国防総省ペンタゴンがそうなっている。正方形の区画の中にペンタゴン（五角形）があるのだ。ただし、当初はきれいな正方形だったワシントンD.C.であるが、いまは、ポトマック川の西側はワシントンD.C.ではない。国防総省もそこにある。
『四角の中の五角』といえば、アメリカ国防総省ペンタゴンがそうなっている。正方形の区画の中にペンタゴン（五角形）があるのだ。ただし、当初はきれいな正方形だったワシントンD.C.であるが、いまは、ポトマック川の西側はワシントンD.C.ではない。国防総省もそこにある。
四角の中の五角 その３ ― 2011/02/12 23:13
堀内正和さんの『四角の中の五角』を、自分でもじっさいにつくってみた（図・写真 上）。展開図が「亀」と「キューピッド」みたいだ。不等辺四角形と不等辺三角形は、正三角形を分割したもので、その分割点の比率は、黄金比（約0.61：約0.38）になっている。
さらに、より「折り紙的」技法ということで、透明素材による一枚折りを試してみたものが、図・写真下である。まとまりのよさを優先して、展開図の対称性はくずした。
「合格→五角」ということで、合格のお守りにどう？
さらに、より「折り紙的」技法ということで、透明素材による一枚折りを試してみたものが、図・写真下である。まとまりのよさを優先して、展開図の対称性はくずした。
「合格→五角」ということで、合格のお守りにどう？
ふたつの立方体 ― 2011/02/13 09:32
正方形二枚組である。鏡像ではなく、まったく同じものふたつを、回転対称に組み合わせる。展開図の内側の長方形は１:√2である。けっこう難度の高い面白いパズルになった。
四角の中の五角 その4 ― 2011/02/14 22:49
(1)近似値
記憶だけで検討していた、『四角の中の五角』であるが、オリジナルの確認をしていなかったことに気がついた。『彫刻家 堀内正和の世界展 図録』（2003年11月）で確認したところ、オリジナルは近似を使っているようだった。
写真を読み取ると、正三角形の面に、各辺を八等分した斜めの格子が描かれていて、切断面がその格子点に基づいているようなのである。つまり、黄金比φ=(１＋√5)/2=1.618..ではなく、8/5=1.6、5/3=1.66..という値を使っている。
(2)五面体
正四面体には正方形の切断面があり、立方体（正六面体）には正六角形の切断面がある。そして、五つの面を持つ立体・四角錐には正五角形の切断面がある。このことから浮かぶ問いは、もうひとつの五面体である三角柱（五面体はグラフ的には2種しかない）からも正五角形の面が切り出せるだろうか、というものだ。しかし、残念ながら、これはできないのであった（きちんと証明はしていないけれど）。
(3)無理数の近似における「7」
(1)に関連した話である。無理数の近似といえば、次のようなものがある。精度にばらつきはあるが、みな7を使っているのがクールだ。
√2 ≒ 7/5 ≒ 10/7
√3 ≒ 7/4 ≒ 12/7
自然対数の底 e ≒19/7
円周率π≒ 22/7
√2≒7/5や、√3≒7/4は、折り紙で使ったこともある。使う機会はあまりなさそうだが、上の式から得られる e≒1+√3と、π≒√2+√3いった式も、ちょっと面白い。
いっぽう、黄金比φには、７を使ったよい近似がない。黄金比の近似は、フィボナッチ数列の2項の比で表せるが、この数列に7はない。（フィボナッチ数列：1,1から始めて、2項の和を次の項にする：1,1,2,3,5,8,13,..）
√5ならば、φ≒5/3から、√5≒7/3と、「７がらみ」の式も得られるが、これはちょっと精度が低い。
記憶だけで検討していた、『四角の中の五角』であるが、オリジナルの確認をしていなかったことに気がついた。『彫刻家 堀内正和の世界展 図録』（2003年11月）で確認したところ、オリジナルは近似を使っているようだった。
写真を読み取ると、正三角形の面に、各辺を八等分した斜めの格子が描かれていて、切断面がその格子点に基づいているようなのである。つまり、黄金比φ=(１＋√5)/2=1.618..ではなく、8/5=1.6、5/3=1.66..という値を使っている。
(2)五面体
正四面体には正方形の切断面があり、立方体（正六面体）には正六角形の切断面がある。そして、五つの面を持つ立体・四角錐には正五角形の切断面がある。このことから浮かぶ問いは、もうひとつの五面体である三角柱（五面体はグラフ的には2種しかない）からも正五角形の面が切り出せるだろうか、というものだ。しかし、残念ながら、これはできないのであった（きちんと証明はしていないけれど）。
(3)無理数の近似における「7」
(1)に関連した話である。無理数の近似といえば、次のようなものがある。精度にばらつきはあるが、みな7を使っているのがクールだ。
√2 ≒ 7/5 ≒ 10/7
√3 ≒ 7/4 ≒ 12/7
自然対数の底 e ≒19/7
円周率π≒ 22/7
√2≒7/5や、√3≒7/4は、折り紙で使ったこともある。使う機会はあまりなさそうだが、上の式から得られる e≒1+√3と、π≒√2+√3いった式も、ちょっと面白い。
いっぽう、黄金比φには、７を使ったよい近似がない。黄金比の近似は、フィボナッチ数列の2項の比で表せるが、この数列に7はない。（フィボナッチ数列：1,1から始めて、2項の和を次の項にする：1,1,2,3,5,8,13,..）
√5ならば、φ≒5/3から、√5≒7/3と、「７がらみ」の式も得られるが、これはちょっと精度が低い。
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