ブックデザインなど2020/06/21 10:18

◆ブックデザイン
『宇宙と素粒子』(千夜千冊エディション)(松岡正剛)の装幀に、作品を提供した。

宇宙と素粒子』(松岡正剛)

◆折り紙パズル
折り紙による幾何の問題を思いついた。自分で考えたいひとのために、解答は「シール」で隠しておく。

◇問題
・正方形の紙を折って、その中心に、面積1/25の正方形(辺が1/5の正方形)を作図せよ。
・工程は6回とする。
・1回の工程は、明確な目安で折り目をつけることのみとする。
(つまり、折って戻すことで直線を引くことのみとする)
(よって、6回の工程のうち4回は、正方形の辺を描く工程になる)

◇解答
1/25折り紙パズル

◆90度の1/4
ふと見た温度計が、22.5度という「折り紙好きのする数値」になっていたので、写真を撮った
22.5度

◆ひび割れ
先日、眼鏡が破損してつくりかえたが、今度は、スマートフォンの画面に盛大にひびがはいった。木製の床の上に1mぐらいの高さから落下し、それほど強い衝撃ではなかったと思うのだが、条件が重なったためか、みごとなひびになった。
ひび
ガラス面と床面が角度なしに両のてのひらを合わせるように衝突した。べゼル(枠)に接する部分にすでに小さな亀裂があったので、それが初期条件になって破壊が広がったようだ。それゆえか、端点(左下)から成長した、木の枝や稲妻に似た構造があるように見える。ある意味きれいで、寺田寅彦先生に見てもらいたい(!?)。

日食と角香箱2020/06/16 21:54

次の日曜日(6月21日)に、日食がある。日本では部分日食となるが、九州や沖縄など西南地方ではかなり大きく欠ける。『理科年表』を見ると、福岡での最大食分が0.618となっていた。おお、これは、黄金比の逆数ではないか。
21June2020日食

食分というのは、影の部分の幅/太陽の視直径という定義なので、下図のようになる(白い線については、後述)。なお、厳密には、月と太陽の視直径はぴったり同じではない。とくに今回は、中心食帯でも金環食なので、そのずれがある。影の部分の幅は、太陽の視半径+月の視半径-太陽と月の中心の角距離と定義される。ここではそれを単純化して描いた。

部分食の食分が黄金比であること自体にとくに意味はないが、ふたつの円が黄金比で交わるこの図を描いたのは、そこに面白い図形の性質はないだろうかと思ったからだ。そして、見ているうちに、「角香箱の近似黄金比」のことを思い出した。角香箱(つのこうばこ)というのは、伝承の折り紙作品のひとつである。それを思い出したのは、この図に、白い線で示したように、直角の1/4と1/8の近似値が見えるからだ。
食分黄金比の日食

折り紙になじみ深いそれらの角度から、黄金比のよい近似がでてくることがあることは、ほとんど知られていない。以前、永田紀子さんの折り紙作品を分析していて、この近似に気がついたのだが、わたしも、ほとんど忘れていた。「こんなところに黄金比の近似値があったなんて」ということを私信で伝えただけだったが、以下にそれを示す。
角香箱近似黄金比
この図に示したように、角香箱の底面の辺の長さと「口」の辺の長さの比は、ほぼ黄金比なのである。

日食に話を戻そう。『理科年表』の食の欠けかたを示す値は、食分だけであるが、面積比もわかりやすい指標だ。明るさが面積にほぼ比例するからだ。太陽も月も視直径が等しい円盤であるとして、食分(横軸)と面積比(縦軸)の関係は図のようになる。あまりきれいな式ではないが、グラフからもわかるように、この関係は、食分>0.4においてはほぼ直線で、面積比=1.2×食分-0.2と近似できる。
日食の食分と面積比

那覇の最大食分0.837から、面積比を上記の近似式で計算すると約0.8で、まだ20%の明るさがある。やや厚い曇りの日ぐらいだ。今回、中国やインドでは、金環食を見ることができるが、そのとき、太陽と月の視半径は、それぞれ、15分44.2秒と15分24.1秒(『理科年表』)で、これから計算される金環の面積は太陽の約100分の4となる。これはちいさな数字に思えるが、それでもかなり明るい。皆既日食のときは、コロナ(光冠)が見えるが、その明るさは太陽全体の100万分の1ぐらいなので、部分日食や金環日食ではそれを見ることはできない。100万分の1といっても、満月の明るさと同じ桁なのだが、いかに太陽本体が明るいかということだ。

なんてことを書いていると、半年前までは、コロナといえば太陽の光冠であり、太陽コロナに見た目が似ているコロナ放電であり、天文観測的には、かんむり座(Corona Borealis : CrB)と南のかんむり座(Corona Australis : CrA)であり、ストーブなどのメーカー(我が家にあるのもそうだ)で、そんな自動車の名前もあったよな、ということだったのになあ、と思う。

展開図、眼鏡、気球、サリンジャー、そして『しししし』2020/06/14 14:02

先日、ひさしぶりに都心の大型書店に行った。もとめた本のひとつが、歌集『展開図』(小島なお)だった。まずは、タイトルと装幀に惹かれた。円錐の展開図が、カバーと扉に描かれ、表紙では、その図がエンボスになって刻印されている(装幀:日本ハイコムデザイン室)。これはかっこいい。しかし、われながらめんどうくさいのだが、シンプルな幾何図形を見ると、検証をしたくなる。
『展開図』(小島なお)

円錐の展開図では、底面の円周と円錐面になる扇形の円弧の長さが一致していなくてはならない。したがって、360度/扇形の内角=扇形の半径/底面の半径となるはずだ。しかし、この図から計測した値は、360/扇形の内角=3.08で、扇形の半径/底面の半径=3.25で、わずかなずれがあった。3.08と3.25の違いを一瞥で読み取れたはずもないが、あらためて図に示すと、円錐面に糊しろができた。
『展開図』表紙から

字余りもまた定型詩の魅力であるということを象徴しているのかもしれない…とか。

そもそも、球と違って無限のバリエーションがある円錐で、なぜこのかたちなのだろうか。値が3.1前後なので、比率を円周率にするのは、きれいかもしれない。底面の半径を1とすれば、円錐面の面積がπ^2となって、特別な円錐という気がしないでもない。

次に考えたのは、√10=3.16...という比率だ。これも悪くない。こうすると、円錐の高さがぴたり3になり、底面の半径を1として、体積がちょうどπになる。

しかし、もっと単純に3とするのが、やはりすっきりときれいである。扇形の内角も120度でわかりやすいほかに、半径が同じ球と表面積(円錐面と底面の合計)が同じになる。
球と同じ表面積の円錐
半径と表面積が同じ球と円錐

歌の中にも円錐がでてくるものがあった。

林道に青鳩が鳴き十和田湖の円錐空間に雲が湧き立つ

ほぼ円形の湖を円錐の底面として、その上空に大きな円錐を描いたということか、巨大なスポットライトのような情景が目に浮かんだ。ただし、十和田湖を確認してみると、より円形と言えるのは田沢湖で、十和田湖は、M.C.エッシャーのモノグラム(サイン)のEの字のようなかたちである。

この歌集には、次の、数学を詠んだ歌もあった。

数学はきれいと教えてくれたひと壜底めがねの上原早霧(うえはらさぎり)

上原早霧という美しい名は、架空なのか実在なのかと検索すると、数学オリンピックの出場者にその名があり、スポーツデータの解析を行う会社・データスタジアムで活躍している研究者になっているひとだった。小島さんと同年代の若いひとだ。小島さんの歌には、この歌の他にも、陸上の桐生祥秀氏の名前をそのまま詠んだものなどもあるので、ニュースなどで見た名前なのだろう。小島さんから上原さんへの、異なる方面での才能への畏敬と解釈できるが、壜底めがねという強い表現からは、アイザック・アシモフのエッセイ『無学礼賛』(『生命と非生命の間』山高昭訳、所収)も思い出した。

アシモフは、そのエッセイで、眼鏡をかけた女性がそれを外すと魅力が増すというハリウッドの類型描写を痛烈に批判している。眼鏡が女性の魅力を損なうという考えは、「教養が目立ちすぎると社会で邪魔になり不幸をもたらす」「知性の発達がおさえられれば幸せがくる」ことを示す悪習であると断罪する。アシモフ自身も度の強うそうな眼鏡をかけていたので、その意味での恨みもあったのだろう。

眼鏡といえば、感染症の緊急事態がとりあえず解除されて、眼鏡店が営業再開するのを待って、眼鏡をあたらしくつくった。緊急事態中、横づらを車の窓にぶつけて、眼鏡のツルの先の樹脂の部分が割れてしまっていたのだ。その部品は交換すればよいとして、長年使ってレンズやフレームに細かな傷もあるので、あらたにもうひとつつくることにした。遠近両用眼鏡は、振り向いて後ろを見たとき(車のバックなど)に、顎が上がって近距離焦点部分で見てしまい、視野がぼやけることがある。これに対応するには、意識的に顎をひくとよいのだが、いつもうまくできない。窓に顔をぶつけたのも、横を向いたときのフォーカスのずれだと思うが、いずれにせよ、加齢ゆえなので気をつけなくてはならない。

とまあ、話があっちこっちに飛んでいるが、『展開図』には眼鏡を詠んだ歌もあった。

甲虫の肢(あし)内側に折るように眼鏡を畳むきょうの終わりは

小島さんも眼鏡をかけているのだろうか。それにしても、眼鏡のツルが昆虫の肢に似ているというのは、膝をたたきなるような見立てだ。甲虫ではないが、先日見た、アカスジキンカメムシの肢もまた、金属光沢で眼鏡のツルみたいだった。アカスジキンカメムシは、とくに珍しい虫ではないはずだが、歩く宝石とも呼ばれ、ひさびさに見た。
アカスジキンカメムシ

眼鏡店での視力検査のさい、小さなカタカナのほかに、気球の映像が映る機械も用いた。これで視力がわかるのですかと訊くと、「だいたいはわかります」との回答だった。原理をあとで調べると、無限遠を見るような映像 -地平線まで続く道の果てに見える気球- を見せ、水晶体に赤外線をあてて屈折状態を見る機械ということだった。この映像については、伊波真人さんによる、次の歌がある。

眼鏡屋で視力検査のとき見える気球の浮かぶ場所にいきたい

彼の歌集は手元になく、この歌はたまたま知ったのだが、一度読むと、あの機械による視力検査のたびに思い出すのが必至となる。なお、伊波さんの歌は、4月末に出た『しししし』の3号にも載っていた。『しししし』は、「双子のライオン堂」書店さんが年に一回刊行している文芸誌だ。

その、「双子のライオン堂」書店が、『本の雑誌』7月号の連載『本棚が見たい!』に、店主の竹田信弥さんの笑顔の写真とともにとりあげられて、ページをめくって「おっ」と声をあげてしまった。
「双子のライオン堂」(『本の雑誌』より)と『しししし』3号

『しししし』3号はサリンジャーを特集としているのだが、『展開図』の小島さんの第二歌集の題名は『サリンジャーは死んでしまった』という。

というような、若干のシンクロニシティじみたこともあったので、『しししし』を再度宣伝しておく。同誌は、小説、評論などのほかに、上記にように短歌も載っている文芸誌で、大槻香奈さんの装画による表紙もクールだ。

なぜかそこに、わたしの文章も載っている。しかも、専門の折り紙にも、仕事の天文にも直接関係がない、サリンジャーについての文章だ。以前、『折る幾何学』に関するイベントを双子のライオン堂さんでした縁だが、どこにいても場違いな感じがするわたしの有り様がにじみでている。

菫程小さき人に生まれたし2020/05/30 21:14

◆錐面の接続
「超立体」という商標のマスクは、超立方体(四次元正八胞体)とは関係はなく、ふたつの錐面の接続である。
錐面の接続

◆Funghetto
ドラゴンポテト
コンビニエンスストアで、「ドラゴンポテト」というスナック菓子に遭遇した。「"カリッ"と"サクッ"の3D食感」とのキャッチコピーがあり、「3D食感ってなんぞ」と思ったものの、面白いかたちであることは間違いない。ただ、これは独自のものではなく、フンゲット(イタリア語でキノコの意味)というパスタと同じ曲面である。

Funghetto曲面
この曲面はどうなっているのかと、数式をつかって描いてみた。パスタの形状を幾何学的に解析する『Pasta by Design』(G. L. Legendre)という本があり、欲しいと思いながらまだ入手していないのだが、フンゲットも載っているのかどうか、とても気になっている。

◆渡らないジョウビタキ
オレンジ色が目立つ小鳥がいて、ヤマガラにしては鮮やかだなと思ったが、黒い羽の白いワンポイントなどから、ジョウビタキ(♂)であることがわかった。図鑑によると、夏にはロシア方面に渡る、いわゆる冬鳥のはずなのだが、鳴き声からも間違いなくジョウビタキである。火打石に似る鳴き声からヒタキ(火焚き)と名づけられたという説もあるようだが、バードコールの「キッ」という摩擦音が一番近い。昨年まではこの声を聞いた記憶がなく、なぜ冬鳥が夏にいるのか、帰りそこねた『幸福な王子』の逆バージョンかと心配したのだが、この10年、北に帰らずに留鳥となり繁殖している観察例が多いそうで、研究者や日本野鳥の会も注目しているらしい。
ジョウビタキ

なお、昨日求めた『俗信の辞典 動物編』(鈴木棠三)には、「ヤマガラの少ない年は流行病が多い」云々と書いてあった。しかし、ヤマガラも普通に来ているのであった。まさに俗信である。

◆タンポポの綿毛
タンポポの綿毛
タンポポの綿毛を多面体として見ると、「4価頂点」が目立っているということに気づいた。あらためて考えてみると、花は球状ではないのに、熟してくるときれいに球状になるというのも面白い。花が終わったばかりの綿毛はゆるいドーム状で、段階を追って球状になる。球状になる意味で考えられるのは、風を受ける面積を増やすことや、散布を無方向にするといったことだが、どうなのだろう。上述のように、種の幾何学的な配置も面白いが、これは、りんごの皮むきというか、下図のように、球面状の螺旋のそって等間隔に種が並んでいるように見えなくもない。(追記:この構造は、ヒマワリで有名な螺旋の重なった花序とも類似している。じっさいはそちらの構造なのだろう)
タンポポ種子の配置の推定

◆スミレほど小さき人
タチツボスミレ
スミレを見ると、漱石の句が思い浮かぶ。

菫程小さき人に生まれたし

気難しいおじさんという漱石のイメージゆえか、スミレと言っても、宝塚的、星菫派的なきらきらしたものではなく、幻覚のような奇妙な味がある句だ。英国で妖精の話を見聞きしたことが影響しているのかもと思ったが、渡英の前の句で、コナン・ドイルも騙されたという「コティングリー妖精写真事件」もずっと後年のことであった。

『幻覚の脳科学 - 見てしまう人びと』(オリヴァー・サックス著、大田直子訳)によると、偏頭痛は、小人が見える幻覚を伴うこともあるらしい。偏頭痛持ちのルイス・キャロルが、『不思議の国のアリス』において、身体の拡大縮小を描写したのは、その影響ではないかともいう。ということで、漱石の小人感覚も偏頭痛のためか!と思った。芥川の歯車の幻覚が「閃輝暗点」の典型的な症状であることはよく知られているが、「スミレほど小さき人」は、その漱石版ではないか、と。しかし、漱石の愁訴は胃痛と肩こりと追跡妄想で、書簡等をつらつら見ても、比喩としての頭痛はあってもじっさいの頭痛の描写は見当たらないのであった。

Unfolding the Mystery of √22020/04/20 21:28

4月11日に新型コロナウイルス感染症で亡くなった、天才数学者・ジョン・ホートン・コンウェイさんについては、4月12日の書き込みでも触れたが、彼が、リチャード・K・ガイさんと共に書いた『数の本』(『The Book of Numbers』1996、根上生也訳)という、数学のたのしさを伝える本がある。(なお、なんと、ガイさんも、今年の3月9日に、103歳で亡くなっていた。新型コロナではないけれど)
『数の本』

この本では、√2という数が無理数であることの説明に、折り紙が使われている。
(これを知ったのは、『本格折り紙√2』を書いたあとだったので、同書では触れることができなかったのはすこし残念であった)。

正方形の辺と対角線の比率が、12対17という整数比だとする。これを図の右のように折る。すると、ちいさな直角二等辺三角形が現れる。これの短辺と長辺の比率も同じになるはずだが、そうすると、17/12 = 7/5ということになってしまう。
同様に、別の整数aとbをおいても、異なる整数の比で表せることになって矛盾が生じる。これはつまり、整数比では表せない比率なのである、という話だ。きっちりとした証明にするには、さらなる工夫が必要だが、ほかで見たことがない説明が面白く、折り紙をつかっていることがうれしかった。

ちなみに、根上さんの訳文では「折り紙を使って説明できます」となっているが、残念ながら、原文には「Origami」という単語はなく、直訳すれば、「√2の無理数性は、正方形の折り畳みで示すことができます」という記述であった。いっぽう、図7.3のキャプション「√2の謎を解き明かす」の原文は、「Unfolding the mystery of √2」となっていて、「明らかにする」と「展開する」という意味のあるunfoldingという言葉を使っているのが洒落ている。

また、この直後にでてくる、「整数の平方根が整数にならなければ、それは有理数ではない」、つまり、整数の平方根には整数と無理数しかない、という命題も、わたしには目からウロコだった。

オンライン例会(日本折紙学会)など2020/04/12 21:21

◆オンライン例会(日本折紙学会)
4/18(土) 14:00-17:00、日本折紙学会が「オンライン例会」を企画しました。
そこで講師をします。 日本折紙学会のおしらせ

「双子のライオン堂」という本屋さんが出している、近日(4月27日)刊行の文芸誌『しししし』の3号に、ひょんなことからエッセイを書いた。折り紙とは関係のない文章で、サリンジャーについてである。

◆数学の魔術師去る
Mathematician (数学者)ならぬ、Mathemagician(数学の魔術師)こと、ジョン・ホートン・コンウェイさんが、新型肺炎で亡くなったというニュースがあった。うーん。高齢ではあったけれど。

たとえば、昨年、若き数学者を扱った小説、岩井圭也さんの『永遠についての証明』を読んだときにも、コンウェイさんを連想した。数学者が登場人物になる小説では、才能はギフトでもあるが呪いでもあるというテーマが王道だ。同書には「お前みたいな才能が手に入るんなら、なんだってする」というセリフも出てきて、登場人物の瞭司くんは、そういう「呪い」を受けた人物として描かれる。しかし、作中にムーンシャイン理論がでてきたことからの連想だが、ムーンシャイン予想を考えたコンウェイさんに会っていれば、瞭司くんも、もっと幸せになれたかもしれない、などと、わたしは思ったのだ。天才・コンウェイさんは、深さに触れながら、命がけの緊張の中にいるのではなく、戯れるようにたのしそうで、そのたのしさを広く伝えたいと考えているひとだった。数学好きのイベントで遠くから見たことがあるだけだったけれど、そういうオーラがあった。だいたい、数学の予想の名前がムーンシャイン(月の光、たわ言、密造酒)なのである。ふざけている。そういう、こころを軽くしてくれる天才もどこかにちゃんといるのが、この世界のありがたさなのだが…

◆読書に逃避
このパンデミックの中、人口密集地での通勤がなく、生活圏の半分が僻地で、リモート作業の環境もあるというわたしは、きわめて恵まれている。緊迫感がまだ薄い2ヶ月前に参加した会合でも、異なる集団をつなぐハブになる恐れもあることから、若干浮いているぐらいに用心深い態度を取ったが、そのような振るまいができたこと自体、つまりは、恵まれていたからである、といまになって思う。

読書に逃避できるのも恵まれているからである。しかし、これは習い性となっているので、どうしようもない。たとえば、『ドゥームズデイ・ブック』(コニー・ウィリス著、大森望訳)を25年ぶりに再読した。黒死病が猖獗を極める14世紀のイングランドにタイムトラベルした学生と、彼女を過去に送った21世紀側でも未知のウイルスが広まる、という話だ。EC(EUではない)離脱運動や、わずか1.5Gbの音声レコーダなど、近未来を書くのは難しいとも思ったが、2054年でもトイレットペーパーを心配するのはリアルであった。

「疫病がやってくると聞いた人たちはみんな逃げ出した。それでペストが広がったんだよ」
『ドゥームズデイ・ブック』からコリン少年のせりふ)

ポオの『ペスト王』『赤死病の仮面』、梶井基次郎の『のんきな患者』も読み返した。さらに、手にとってぱらぱらめくったのは、『異星人の郷』(マイケル・フリン)、『ホットゾーン』(リチャード・プレストン)などである。『復活の日』(小松左京)と『ペスト』(カミュ)は、手元になかった。