排キューブ、そして、有心六角数2016/10/23 11:11

「排キューブ」(バレーボールのような立方体)の、すっきりしたバリエーションができた。
排キューブ
最近のバレーボールは革のかたちが異なるものもあるが、最も一般的なものは、3枚の長方形によって正方形をつくり、それを6個組み合わせた立方体、さらにそれを球に投影したかたちである。

その立方体を、規格用紙(実質的には、5:7の長方形)6枚を使って組んでみたものが、上の写真だ。見た目、かなり地味なモデルだが、全部組むまでの不安定さに面白さがある。
 
このモデルは、内部が9個の空間に分かれている。1辺を3とした場合、体積1の小空間8個と、それらを除いた体積19の空間である。

「19かあ」ということで、すこし考えた。19という数は、囲碁盤の線(路)の数であり、素数でもある。
 
3^3に分割された立方体と19ということでは、同時に見ることができる分割された立方体の最大数も19個だ。これを一般化をして、n^3に分割した立方体で、一度に見ることができる立方体の数を考える。これは、連続する立方数の差 n^3-(n-1)^3、すなわち、3n(n-1)+1となる。この数は、n=15までで、以下が素数となり、このあとも素数が多い。

(1), 7, 19, 37, 61, 127,  217, 271, 331, 397,  547, 631

ここまでで合成数となるのは、以下の3つである。
91(=7*13), 169(=13*13),  469(=7*67)

でてくる約数が7か13であるのが、ちょっと面白いが、この数は、2や3、そして、5や11の倍数にならないので、合成数である場合、小さい約数は、7や13になる。式のかたちから、2や3の倍数にならないのはすぐわかり、5や11の倍数にならないことは、剰余演算(mod)のありがたさがわかる練習問題である。(剰余演算に関しては、I氏から示唆)

この数列を眺めているうち、この数が、円をならべて六角形にするときの円の個数(有心六角数)に等しいということにも気づいた。これは、以下のように、直感的にも理解しやすい。

3面が見える方向から立方体を見た場合、六角形となる。そして、立方体を分割したとき、その小立方体の配置は、円をならべて六角形にしたものと同じになる。
有心六角数19

偶然の面白さでは、(いくつか前の記事・「十三・七つの意味」にも、関連する話が出てきたけれど)これらの数が、7曜日、メトン周期(月齢と、太陽年での通算日がほぼ一致するようになる周期)の19年、(37は飛んで、)連続する2ヶ月が必ずはいる数の61、1クール(1/4年=91日=7日×13週)と、暦と相性のよい数になっているということがある。19と暦と言えば、囲碁盤も一説には、19^2=361が一年を象徴するとも言われる。以前、有心六角数をカレンダーのデザインに利用できないだろうかということを考えたこともあった。

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