をりかみいろは歌その二と算法いろは歌2016/10/01 23:05

せんはつる へいわなみそら こえゆけよ
新いろは歌を、さらにつくった。
をりかみいろは歌 その二(すかた歌)

すかたやくふう おもしろき
ちゑをひめての せんはつる
ねむれぬほとに あさまゐり
へいわなみそら こえゆけよ

姿や工夫 面白き
智慧を秘めての 千羽鶴
眠れぬ程に 朝参り
平和な御空 越え行けよ
ここでいう千羽鶴は、『千羽鶴折形』のような「つなぎ折鶴」のことで、歌のイメージは写真のようなものである。

これを考える途中で、以下のものができた。「千羽鶴」と「参り」を生かして、4行目の無理やりな感じを直した末に、上のものになったのだが、「元歌」の4行目の「落ち」も悪くない。
をりかみいろは歌 その一・五(ぬさを歌)

ぬさをになひて みやまゐり
おきこえゆけよ たからふね
いともそろへし せんはつる
あほめくわれの ちゑうすむ

幣を担ひて 宮参り
沖越え行けよ 宝船
糸も揃へし 千羽鶴
阿呆めく我の 知恵薄む
幣(ぬさ):御幣。(関連:御幣担ぎ:縁起を気にするひと)

そして、数学をテーマにつくったのが以下である。
算法いろは歌(なゆた歌)

なゆたあそうき わやおほろ
しゐつらぬけは くみふせむ
ていりこさへる ますのちゑ
よもにひをねめ えれかんと

那由多阿僧祇 わや朧
思惟貫けば 組み伏せむ
定理拵へる MATHの智慧
四方に美を睨め エレガント
那由多:10^60(別の説もある)
阿僧祇:10^56(別の説もある)
わや:無理・ごまかし。関西弁ではなく、枉惑(おうわく)→わやくの転ともいう。
エレガント:数学のひとは、簡潔で明快な証明を「エレガント」と称する。

新ひふみ歌2016/10/06 00:57

前の記事に書いた新いろは歌で、数詞の阿僧祇と那由多が、いろは48文字で重複しないというのは面白いじゃないか、と思ったわけだが、数詞といろは歌と言えば、「ひふみよいむなやこともちろ...」という「ひふみ祝詞」なるものもある。

一二三四五六七八九十百千万(ひふみよいむなやこともちろ)の「百(もも)」や「千(ち)」は納得であり、「万(よ「ろ」ず)」もなるほどということで、これはかなり面白い。ただ、その先にも続くところは、さっぱりわからない。解釈(こじつけ)の欲望もあまりわいてこないわからなさである。

ここですこし考えてみたいのは、そもそも数詞の文字が重複していないのはなぜなのか、ということである。祝詞のほうが先にあって、数詞がそこから決まったというような伝説は信じがたく、ひふみ祝詞も、この重複のなさがゆえにできたものだろう。

まずは、このブログに前にも書いたように、ひ×2=ふ、み×2=む、よ×2=やというH、M、Y音における倍数関係がある。これは、間違いなく、和語の数詞の起源のひとつだろう。そして、古人は、こうした関連をつけながらも、使いやすさのために、それぞれの数に違う「言葉」を、一音節で与えたのではないか、と推測する。ゆえに和語の数詞は、重複していない文字になっているのではないか、と。(えー、専門研究のようなものはまったく参照していません)

あらためてこのことが面白かったので、新ひふみ歌もつくってみた。万(ろ)は、いまひとつしっくりこないので外したが、これは七五調にもちょうどよいのであった。
新ひふみ歌
ひふみよいむな やこともち
かすのくらゐを そろへたる
ゑんしうりつに おてあはせ
さねきえぬわけ ゆめほまれ

一二三四五六七 八九十百千
数の位を 揃へたる
円周率に お手合はせ
さね消えぬわけ 夢誉れ
さね=決して
ちなみに、近世までは、円周率は円積率と言っていたようだが、まあよい。

数字と言葉遊びと言えば、『折紙探偵団』に書いたエッセイ・『算法・奥の細道』(2008)のさいにつくった「迷句」もあったことを思い出した。和算における折り紙の調査をするために、真夏の東北に、汗をかきかき、算額(和算の絵馬)を調査しに行ったときの話の中に書いたものである。

陽に俯して 算士の遺文に 向かう夏

「一に二して 三四の五ぶんに 六かう七」と、和算の話題らしく「一二三四五六七」を織り込んだのだ。「三と四」が漢音なのと、遺文(ゐぶん)と五(いつ)の違いは惜しいが、帰りの新幹線の中ではそれだけを考えていた記憶がある。だれも感心してくれなかったけれど、本人は気にいっていた。

「ダリアの華」展、そして、「数理にひそむ美」展2016/10/10 10:07

◆ダリアの折り紙教室
おり紙をおしえる人
一昨日の池袋でのダリアの折り紙教室は、段取りに手間取って、かなりおたおたした教室となったが、参加者には、なんとか完成品を手にしてもらった。参加していた少女から、かわいらしいメッセージをもらった。
(わたし前川も、ちゃんとおりがみを伝えられるひとになりたいです)

復興の願いを込めた、「寄せ書きダリア」もつくった。簡単なパーツからなるユニット折り紙は、「寄せ書き」に向いている。

寄せ書きダリア
写真は、イベントに寄ったひとが折ってメッセージを書いたものを、福島県塙町(ダリアの産地)の役場のWさんが組んだものである。(10/11更新)

◆「数理にひそむ美」展
10/15から(12/10まで)、東京神楽坂の東京理科大学近代科学資料館・数学体験館で、「数理にひそむ美」展が開催される。数点、作品を提供した。展覧会の案内はこちら

「数理にひそむ美」 展、そして菱田為吉の木彫の多面体2016/10/11 12:55


菱田為吉の木彫の多面体

東京理科大学近代科学資料館に、「数理にひそむ美」 展(10/15-12/10)のために、折り紙モデルを搬入したのだが、そのさいに観た、菱田為吉氏(1868-1943)の木彫の多面体がすばらしかった。あまり時間がなかったので、急いで観ただけなのだが、正多面体や菱形多面体だけではなく、相貫体や星型多面体などが、幾何学的な正確さでつくられている。

たとえば、星型化された多面体では、星型十二面体3種のすべてがあり、星型二十面体では、大二十面体などが確認できた。星型二十面体は、わたしの近著『折る幾何学』でもすこし触れたが、正二十面体自体を含んで全部で59種あり、コクセターらがそれを示した『The Fifty-Nine Icosahedra』を刊行したのは1938年のことである。晩年の為吉と時代が重なっているので、両者に交流があればもっと面白いことになっていたのではないか、と思わずにいられなかった。

細矢治夫さんなどから聞いたことはあったようにも思うのだが、菱田為吉氏のことは、きちんと認識していなかった。為吉は、東京理科大学の前進である東京物理学校の卒業生で、その後、同学校の講師などを務めたひとである。早くに亡くなった長兄に代わって一家を支えたひとでもあった。そうして支えられた弟に、日本画家・菱田春草(1874-1911)がいる。下村観山、横山大観と並ぶ「岡倉天心の三羽烏」のひとりで、37年弱の生涯を駆け抜けた、あの天才画家・春草である。また、下の弟の唯蔵(1881-1925)は、航空工学者の草分けである。なんとも才能に溢れた、理と美を融合する兄弟である。その要が菱田為吉なのだ。

「朦朧」が代名詞の春草と違って、為吉の多面体モデルが、輪郭画然たるかたちであるのも面白い。もっとも、春草といえば朦朧体であるが、それは、それ以外にないような「正確な朦朧さ」であり、また、彼のすべての絵が輪郭を描かない描法ではない、ということは述べておくべきだろう。

春草の『落ち葉』や『黒き猫』は重要文化財である。じっさい、たとえば『落ち葉』は、その前で立ち尽くしてしまうような、幻想の林の中に迷い込んだ感覚を与える、類まれな天才の筆だ。だが、大学の資料館にひっそりと(失礼)展示されている、為吉の木彫の多面体も、数学美術好きにとって、紛れもない「重要文化財」である。

「数理にひそむ美」 展(10/15-12/10)では、エッシャーの本物なども展示され、入場料は無料である。会期中には、いくつかワークショップなどもある。神楽坂近辺は、散歩もたのしいし、数学ファンなら行かなくては、という展覧会だ。

我に向ひて光る星あり2016/10/12 21:10

真砂なす数なき星の其の中に吾に向ひて光る星あり
正岡子規

よい歌である。大好きだ。しかし、ふと思った。肉眼で見える星は、浜の真砂ほど多くなく、数なき(無限)などとは言えないぞ、と。

肉眼で見える星は、6等星までで、全天で9000個弱である(一度に見えるのはこの半分弱)。地球上の人口は70億人(7×10^9)ぐらいなので、ひとつの星あたり80万人ぐらいを「担当」していることになる。これは、多すぎるのではないか。

というわけで、以下、見えない星もあなたを見守るために動員されている、ということを考えてみた。

21等級までの星の数は、合計で約3×10^9個である(『理科年表 2016年版』)。理科年表にそれ以上の等級の記述はない。ハッブル宇宙望遠鏡で正確に観測できた最大の等級が21までだからだと思われる。ただし、単に観測可能ということであれば、さらに等級をあげることはできる。

星の等級と数
理科年表のデータから、等級と星の数をプロットすると、上の図のように、対数でも直線にならず、等級の高いほうでなまる。たぶん、「オルバースのパラドックス」とも関係する話だろうが、それはさておき、このグラフから、22等級は、おおよそ2×10^9個、23等級は、3×10^9個と見積もることができる。すると、23等級までの星の合計が、おおよそ8×10^9個となる。

よって、23等級までの星を割り振れば、ひとりあたりひとつの星があてがえる計算となる。そこまで暗い星でも、光子の個数レベルでカウントすれば、地上のあなたに届いているに違いない。

結論
「真砂なす数なき星の其の中に吾に向ひて光る星あり」(注:星は23等級まで含む)

以上の計算をして、ひとの数の多さを思った。そのひとりひとりがみな何かを願って、毎日を生きているというのは、途方もないことだ。

お月さんいくつ 十三・七つ2016/10/14 20:36


小望月(十四夜)

昨日は、太陰太陽暦で9月13日、中秋の名月から約1ヶ月後の「のちの名月」こと、十三夜の宵だった。残念ながら、東京では月は雲に隠れていたが、今日は十四夜の光が輝いている。
(20:30現在、月齢・約13.5。上の写真は、17:40頃、国立天文台第一赤道儀室(三鷹)の上に昇った月)

十三夜と言えば、「お月さんいくつ 十三七つ」というわらべうたの「十三七つ」とはなんだろうか、ということが気になって調べたことがある。疑問になって調べて、個人的には納得したというものだ。以下にそれを記す。

わらべうたは、以下のように続く。
「お月さんいくつ 十三七つ まだ年や若いね あの子を生んで この子を生んで 誰かに抱かしょ」

参考になったのは、以下の論文だった。
謎の発生「お月さん幾つ」考 武笠俊一http://miuse.mie-u.ac.jp/bitstream/10076/6421/1/AN100450900160017.PDF

武笠さんの説の概略は、以下である。

「十三七つ」の歌詞は、「十三ひとつ」「十三九つ」とする例もある。この「十三ひとつ」が元のかたちなのではないか。つまり、13+1で十四夜を意味する。十四夜は、異名を小望月(こもちづき=望月(満月)に準じる月)と言い、その音は「子持ち」に通じる。この言葉遊びはかつてはよく知られていたものであった。14歳は、(現代では若すぎるが)出産可能年齢である。これが、「まだ年や若いな あの子を産んで」につながる。

説得力のある説である。いっぽう、この論文にあがっていた以下の説なども興味深かった。「十三七つ」を「正しい」とした場合の解釈である。

(1)13+7=20で、二十歳とする説
ただし、往時の感覚では、二十歳はけして若くはない。満月をすぎた二十日月を若いとするのも変で、ややこみいった解釈が必要になる。

(2)十三夜の七つ時とする説
十三夜の月は、七つ時頃(午後4時頃)に月の出となる。月自体もまだ若く(満月になっておらず)、地平線から出たばかりの意味でも若いという意味か。辞書には、この説が書いてあることが多い。

(3)十三夜の月と十七歳の娘という説
八重山の民謡に次のようなものがある。「十三七つ」は、ここから来たものではないか。
「月ぬ美(かい)しゃ 十日三日(とおかみか) 女童(みやらび)美(かい)しゃ 十七つ(とおななつ)」

(4)十三の月(閏月)が7回あることを述べたという説
太陰太陽暦では、19年間に7回閏月がはいって1年が13ヶ月となるという周期がある。月に関連する7と13という数字が、歌と符合している。

いずれも興味深いのではあるが、月に齢を訊いて、その答えにまだ若いと返している歌の流れに合っているのは、武笠さんの説である。とくに(4)は、天文や暦に関する話としては面白いのだが、考えすぎであろう。

武笠さんの説の変奏として以下のようなことも考えられる。
「ななつ」が、「ななつななつ」の略で、14を意味する。つまり、「お月様は、13か14ぐらいで、まだ満月になっていない」ということである。「ななつななつ」は、武笠さんの論文中に、『御伽草子』中の表現としても挙げられている。

なお、「完全のすこし前」の美しい月ということで、十四夜より十三夜が選ばれるのは、満月の前日より二日前ぐらいのほうが頃よいという感覚のほかに、陰陽道的に偶数が陰の数で、奇数が陽の数ということもあるのではないだろうか。

ただし、以前も書いたことがあるが、月見団子を積むことを考えた場合、3^2+2^2+1=14で、ピラミッド型にきれいに積めるのは、15個ではなく14個なので、団子的には、今宵が月見に相応しい。と、わたしは言いたい。

満たぬ月 団子はぴたり 十四夜

○How does it feel ?
まったく違う話。昨日のノーベル文学賞のニュースで、思い出した。何年か前、中島敦の『石とならまほしき夜の歌』を読んで、驚いたのだ。

眼瞑(と)づれば氷の上を風が吹く我は石となりて轉(まろ)びて行くを

Blowin' in the windで、 Like a rolling stoneだ。ディランじゃん。中島敦、ロックだな、と思ったのである。

プミポン国王の正方形紙幣2016/10/18 22:25

プミポン国王の正方形紙幣
わたしのコレクションのひとつ、世界的にも珍しい(唯一の?)正方形の紙幣である。13日に88歳で亡くなられた、タイ王国のプミポン国王の生誕60年記念紙幣である。
タイによく行く知り合いから、10年ほど前に入手した。

100年前の台風、そして、ポオの詩2016/10/23 10:38

英語のtyphoonの語源には、アラビア語、ギリシア語などいろいろ説がある。当然、漢語起源の説もあり、そのひとつは、台湾の方からの風ということらしい。なるほど。

いずれにせよ、日本でタイフウという言葉が使われはじめたのは明治の終わり頃からのようで、漢語も意識したのだろうが、typhoonの当て字だったようだ。tsunamiのように日本語→英語ではない。これに関連して、最近読んだ與謝野晶子の随筆『颱風』(1914年)が興味深かった。

晶子はこんなことを書いている。

颱風といふ新語が面白い。(略)從来の慣用語で云へば此吹降(このふきぶり)は野分(のわき)である。野分には徘徊や歌の味はあるが科學の味がない。(略)氣象台から電報で警戒せられる暴風雨は、どうしても「颱風」と云ふ新しい學語で表はさなければ自分達に滿足が出来ないのである。

野分は、風の吹くさまを表した言葉であり、南方海上で発達した低気圧という概念とは異なる。直接そう述べているわけではないが、晶子が言いたかったのは、そうした意味であろう。そして、この話を敷衍させて、「新しい用語や新しい形式」(による)「新しい詩人」を期待するといったことを書いている。

晶子が「新しい詩人」と書いたのには、キーツの『レイミア』や、ポオの『科学に』など、科学を批判する詩に対する反論が頭にあったのかもしれない。まったくの推測にすぎないが、それは、晶子に相応しい姿勢のように思える。わたしは前だけを見るぞ、という態度である。「新しい」がキイワードである。しかしわたしは、そこに虚ろなものも感じた。それは、この随筆にある、以下の文章の印象も大きかった。

自分は平生戰争を忌はしく思つて居る一人であるけれど、今度の戰争は之が最後の戰争となる程敵も味方も手疵を負つて、世界を震慄させ、目を覺させて、野蛮な武力の競争を永遠に廃絶する土台となる為に、一時出来るだけ大戰争の開かれることを望んで居る。

「君死にたまふことなかれ」で有名な晶子だが、この他人事の書きぶりは、なんだろう。第一次世界大戦に対する日本からの距離ということもあるのだろうが、それにも増して、これもまた、彼女の思う「科学的」な考えなのかもしれない、と解釈して、憂鬱になった。すくなくともこの文章からは、自然や歴史の過酷さにぶつかったときの、地面を這い廻るひとの感覚は見えない。ちなみにではあるが、ここに描かれた1914年8月13日のこの台風でも、100人超の死者行方不明者が出ている。

ここで、ポオの詩である。上で連想した詩のひとつだ、その詩は、科学は別に新しくないと述べている(と、わたしは解釈した)。彼は、その「新しさ」ということ自体に疑問を投げかけている。

キーツの『レイミア』はドーキンスの『虹の解体』での引用ぐらいでしか読んでないのでよくわからないし、わたしもどちらかと言えばドーキンスの書くことに「そうだそうだ」と頷く人間だが、ポオのソネット(14行詩)『科学に』は、昔読んで、強く印象に残った。晩年のポオの『ユリイカ』は、大上段に神と科学の統合みたいな話となって、ついてゆけなくなるが、このソネットは、一見「科学は無粋である」というテンプレートに見えて、それとは違う言葉だと感じた。懐かしくなって、ソネット風に訳してみたものが、以下である。

 ソネット - 科学に
科学よ! おまえは古き時の真実の娘だ
 その視線をもて総ての物を変える者よ
何故おまえは詩人の心を食い荒らすのだ
 退屈きわまる現実の翼を持った禿鷹よ
おまえを愛して賢いと思う詩人はいない
 気儘な歩みを邪魔するばかりだからだ
輝く石を散りばめた空に宝物を探したい
 怯まず翼を広げ天翔けて行きたいのだ
月の女神を銀の馬車から降ろしたおまえ
 木の精霊たる者を彼の森から追いたて
どこか別の幸福な星へと追放したおまえ
 清き川の流れから水の精霊を狩りたて
緑なす草地から妖精を そして私からも
奪うのか タマリンドの樹下の夏の夢も

彼はこの詩の中で、科学を新しいものではなく、true daughter of Old Timeとしている。最初に読んだのは福永武彦さんの訳で、「まこと『老いたる時間の娘』」という言葉だった。これがずっと不思議だった。いま見ると、これが、「真実は時の娘(Truth is the daughter of time.)」という、世に知られたフレーズを下敷きにした表現であるのは明らかだ。アイロニーもあるだろうが、ポオは、経験の積み重ね、集約である科学の力を認めていたはずである。なにせ、推理小説とSFの生みの親なのだ。科学は、新しいからではなく、野暮で着実だから手強い、というのが、たぶん、ポオの思いである。若きポオは科学を知って、科学に喧嘩を売っている。

彼は、たぶん、負けるとわかって、というか、負けること自体を歌うために、この詩で科学に噛みついたのだ。中野重治の『歌』における「『あかままの花やとんぼの羽根を歌うな』という表現で逆にそれらを歌う」(花田清輝の評)式のレトリックとも言える。花田氏の『歌』の評は皮肉だが、まさに、『歌』はその技法で成功しているとも言える。

19世紀でも、まして今日、月の輝きにディアナの姿を見る者などいないだろう。しかし、タマリンドの木の下でまどろみながら見る夢は、いまでも奪うことはできない。この詩は、きわめて個人的なちいさい声なのであり、それゆえ、魅力的なのだ。

排キューブ、そして、有心六角数2016/10/23 11:11

「排キューブ」(バレーボールのような立方体)の、すっきりしたバリエーションができた。
排キューブ
最近のバレーボールは革のかたちが異なるものもあるが、最も一般的なものは、3枚の長方形によって正方形をつくり、それを6個組み合わせた立方体、さらにそれを球に投影したかたちである。

その立方体を、規格用紙(実質的には、5:7の長方形)6枚を使って組んでみたものが、上の写真だ。見た目、かなり地味なモデルだが、全部組むまでの不安定さに面白さがある。
 
このモデルは、内部が9個の空間に分かれている。1辺を3とした場合、体積1の小空間8個と、それらを除いた体積19の空間である。

「19かあ」ということで、すこし考えた。19という数は、囲碁盤の線(路)の数であり、素数でもある。
 
3^3に分割された立方体と19ということでは、同時に見ることができる分割された立方体の最大数も19個だ。これを一般化をして、n^3に分割した立方体で、一度に見ることができる立方体の数を考える。これは、連続する立方数の差 n^3-(n-1)^3、すなわち、3n(n-1)+1となる。この数は、n=15までで、以下が素数となり、このあとも素数が多い。

(1), 7, 19, 37, 61, 127,  217, 271, 331, 397,  547, 631

ここまでで合成数となるのは、以下の3つである。
91(=7*13), 169(=13*13),  469(=7*67)

でてくる約数が7か13であるのが、ちょっと面白いが、この数は、2や3、そして、5や11の倍数にならないので、合成数である場合、小さい約数は、7や13になる。式のかたちから、2や3の倍数にならないのはすぐわかり、5や11の倍数にならないことは、剰余演算(mod)のありがたさがわかる練習問題である。(剰余演算に関しては、I氏から示唆)

この数列を眺めているうち、この数が、円をならべて六角形にするときの円の個数(有心六角数)に等しいということにも気づいた。これは、以下のように、直感的にも理解しやすい。

3面が見える方向から立方体を見た場合、六角形となる。そして、立方体を分割したとき、その小立方体の配置は、円をならべて六角形にしたものと同じになる。
有心六角数19

偶然の面白さでは、(いくつか前の記事・「十三・七つの意味」にも、関連する話が出てきたけれど)これらの数が、7曜日、メトン周期(月齢と、太陽年での通算日がほぼ一致するようになる周期)の19年、(37は飛んで、)連続する2ヶ月が必ずはいる数の61、1クール(1/4年=91日=7日×13週)と、暦と相性のよい数になっているということがある。19と暦と言えば、囲碁盤も一説には、19^2=361が一年を象徴するとも言われる。以前、有心六角数をカレンダーのデザインに利用できないだろうかということを考えたこともあった。

『奇蹟がくれた数式』(The Man Who Knew Infinity)2016/10/25 20:42

一昨日、映画『奇蹟がくれた数式』(The Man Who Knew Infinity)を観た。これまで、フィクション中のラマヌジャン(1887- 1920 インドの数学者)は、えーっというものもあったのだけれど、これは、しみじみとよい映画だった。

ラマヌジャンが妻に「数学以外に興味はないんだ。ただし、君を除いて」みたいなことを言うのは、愛おしいし、宗教的な食事の禁忌の問題は、現代日本でも同じようなことがあるなと、はっとするところだった。

数学ミーハーとして気になっていた、タクシー数1729の使いかたは、史実とされている話とは違っていたが、小ネタ以上の扱いだった。ハーディーが1年内に2度、1729のタクシーに遭遇したことになっていたが、今よりはるかにタクシーの数は少ないだろうし、ケンブリッジはそんなに大きい街ではないので、その確率も一応計算されているとみた。

ちなみに、我が家から半径200m以内の駐車場には、ナンバー1729の車が2台確認できている。駐車場密度の見積もりをもとに、まったくのランダムなものとして計算してみると、範囲内に1729がふたつある確率は1000分の1ぐらいである。高くはないが、そんなに低くもない。

リトルウッドの法則なるものもある。映画で好感度抜群に描かれていたリトルウッド(彼も数学の殿堂入りの天才)による、以下の「法則」である。
「100万回に1回起こることを奇跡、その分母になる事象を1秒に1回起きる事と定義すれば、ひとは1ヶ月に1回ほど奇跡的な事象に遭遇する」
これはかなり高い。