円周率近似の図形的感覚2016/07/22 22:20

前にもこのブログに書いたけれど、今日は、22/7=3.14...で、円周率近似の日である。

すこし前、基本的な図形に結びついた円周率の近似を見つけた。たぶん既知なのだろうが、図形感覚としての面白さがある。

その1(図左参照)
1辺3の正三角形の外接円の周は、約11、つまり、1辺3の正三角形の外周+2にほぼ等しい。
11としたときの近似円周率=11/(2√3)=3.17...

その2(図右参照)
1辺2の正方形の外接円の周は、約9、つまり、1辺2の正方形の外周+1にほぼ等しい。
9としたときの近似円周率=9/(2√2)=3.18....

一瞥した外接円の周は、わたしには、上の関係より長く見える。 たぶん、円周の長さの目分量というのが難しく、感覚が面積に引きずられるからだろう。

○関連した話
11√2≒ 9√3 と、√2+√3≒√10 の説明

上の円周率近似は、√2+√3≒√10≒πという関係から気がついたものである。
この√2+√3≒√10と、上にでてくる近似式から導かれる11√2≒ 9√3 というふたつの近似式に関して、この話題をやりとりした『数学セミナー』編集者のIさんの説明がとてもすっきりしていたので、以下にそれを記しておく。

○11√2 ≒ 9√3の説明
(√2+√3)^3 + (√2-√3)^3 = 11√2 * 2
(√2+√3)^3 - (√2-√3)^3 = 9√3 * 2
(√2-√3)^3 が小さいので,11√2≒ 9√3である。

○√2+√3≒√10の説明
(√2+√3)^2 + (√2-√3)^2=(2+3)*2 = 10
(√2-√3)^2がそこそこ小さいので、 √2+√3≒√10である。