通算日が日付の倍数になる日 ― 2014/11/19 21:40
今日11月19日は、1月1日からの通算日が323日である。これは、日付の19で割り切れる（323=19×17）。
仕事柄、通算日を気にすることは多いけれど、毎日チェックしているわけではなく、今日は、仕事中にたまたま気がついた。
‥で、帰宅して、次の問題を考えてみた。
問い：
年の通算日が月の日付で割り切れる日は何日あるか。
（正確な値はすぐにわからないだろうが、だいたいの値を見積もってみよ）
答え：
(1)1月は通算日=日付なので、すべて該当する。
(2)1は全ての自然数の約数なので、1日は必ず該当する。
(3)2日の通算日が偶数であれば、2日も該当する。約半分の月はこれに該当する。
(4)(2)と(3)、そして3日以降は、次のように考えられる。
(4.1)通算日をランダムな数字と考え、それがnの倍数となる確率は1/nである。
(4.2)日付を30までとして、1月を除き、通算日が日付の約数となる日の期待値は、11/nの和 (n=1…30）で見積もられる。
(4.3)自然数の逆数の和 Σ(1/n)は、「調和数」として知られる数である。
(4.4)調和数は、γ+ln(n）で近似できる。（γ=オイラー定数≒0.58）
(4.5)したがって、n=1…30のΣ(11/n)は、（0.58+ln(30))×11≒44 と計算される。
(5)結果、通算日が日付の倍数になっている日は、31+44=75と見積もられる。
検算：
じっさいに調べてみると、平年で78日、閏年で70日で、見積りはほぼ合っている。
ただし、2月は1日だけ、平年の5月は13日で閏年は2日だけ、平年の3月が1日だけで閏年は11日など、偏りは大きい。
以上、リーマンのゼータ関数とも関係する調和数がでてきたことで、数学ファン的にちょっとおっと思った、という話でした。
仕事柄、通算日を気にすることは多いけれど、毎日チェックしているわけではなく、今日は、仕事中にたまたま気がついた。
‥で、帰宅して、次の問題を考えてみた。
問い：
年の通算日が月の日付で割り切れる日は何日あるか。
（正確な値はすぐにわからないだろうが、だいたいの値を見積もってみよ）
答え：
(1)1月は通算日=日付なので、すべて該当する。
(2)1は全ての自然数の約数なので、1日は必ず該当する。
(3)2日の通算日が偶数であれば、2日も該当する。約半分の月はこれに該当する。
(4)(2)と(3)、そして3日以降は、次のように考えられる。
(4.1)通算日をランダムな数字と考え、それがnの倍数となる確率は1/nである。
(4.2)日付を30までとして、1月を除き、通算日が日付の約数となる日の期待値は、11/nの和 (n=1…30）で見積もられる。
(4.3)自然数の逆数の和 Σ(1/n)は、「調和数」として知られる数である。
(4.4)調和数は、γ+ln(n）で近似できる。（γ=オイラー定数≒0.58）
(4.5)したがって、n=1…30のΣ(11/n)は、（0.58+ln(30))×11≒44 と計算される。
(5)結果、通算日が日付の倍数になっている日は、31+44=75と見積もられる。
検算：
じっさいに調べてみると、平年で78日、閏年で70日で、見積りはほぼ合っている。
ただし、2月は1日だけ、平年の5月は13日で閏年は2日だけ、平年の3月が1日だけで閏年は11日など、偏りは大きい。
以上、リーマンのゼータ関数とも関係する調和数がでてきたことで、数学ファン的にちょっとおっと思った、という話でした。
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