美は乱丁にあり(?)2011/01/02 11:31

 あけましておめでとうございます。
干菓子

乱丁

 さて。昨年の大晦日に買った『江戸幻獣博物誌』(伊藤龍平著)という本が、きわめて珍しい乱丁だった。「目次がないなあ」と思っていたのだが、17-32ページが繰り返されていたのである。ほんとうに珍しいので、記念にとっておこうかとも考えたが、返金してもらった(書店に在庫がなかったので、本はまだ入手していない)。

折り丁

 なぜ、17ページからなのかということだが、これは2の4乗プラス1ということである。
 書籍というのは、通常、2の累乗ページを1枚の「折り」に印刷し、これを折り畳んで裁断する。よって、8、16ページなどが単位になるのだ。16ページの場合は、図のようになる。
 ページがどのように配置されるかは、ちょっとしたパズルだ。

カーブミラーのスポットライト2011/01/11 12:52

カーブミラーのスポットライト
 昨日の正午前、南東を向いているカーブミラーが、路上にスポットライトをつくっているのを見た。ほぼ真円になっていたのだが、これはなぜかということを考えた。

 まず、この「円」は、太陽の輪郭によるのではなく、鏡面の輪郭によるものである。「鏡面の直径÷投影面までの距離」が、太陽の視直径(ラジアン単位)より充分小さい値であれば、投影面に太陽の像が確認できるだろう(追記:カーブミラーは、鏡面が大きすぎ、かつ反射光が広がるので、光量が足りず、像を結ぶのは難しい)が、これはそうではなく、鏡面のかたちが地面に投影されたものである。
 問題は、地面と鏡面のなす角度が大きいのに、その投影像が真円に近いのはなぜなのか、ということである。

 鏡の下向きの角度を10度、太陽の高度を30度、太陽の方位角を鏡の正面とすると、概略は図のようになる。横と正面から見た図である。図の下のミドリの楕円と赤い「円」は、真上から見た投影された像である。ミドリの線が平面鏡の場合で、その投影像は、かなりつぶれた楕円になる。赤い線が凸面鏡の場合で、その投影像は、楕円錐を斜めに切ったかたちとなると考えられる。この角度の場合、楕円錐の楕円と、斜めに切ることによる楕円が相殺されて、ほぼ円になったわけだ。

 面白い現象である。ミラーに対して太陽が正面になるとき、その高度が低く、かつ路面が影になる場所と季節で見ることができる。

サカナのマス2011/01/17 20:47

サカナのマス
 ざぶとん折りをしたサカナの基本形を使った同様のモデルは、田中具子さんのものなど、すでにあるのだけれど、ざぶとん折りをしなくても、うまくまとめることができた。

 サカナの基本形からつくった升なので、名付けて「サカナのマス」であるが、それだけでは、「鱒(trout)?」ということになるのであった。

 わかりにくいと思うけれど、本ブログには珍しく、工程写真を載せてみた。

立方体に内接する立方体2011/01/20 21:08

立方体に内接する立方体
 立方体に内接する立方体や正八面体を使った折り紙モデルを考えているうちに、「立方体のすべての面に接する立方体の最小サイズはどうなるか」という問題にはまってしまった。これは、想像よりややこしい問題であった。

 この問題に関しては、Carl Parkesさん-David Eppsteinさん-Greg Huberさんの議論に詳細が記されているのを見つけたが、証明は面倒で、むしろ四次元の超立方体になるとすっきりするということである。

 答えを示すと、辺の比で3/5になり、8頂点のうち、面に接する6頂点が、5等分のメッシュ上に位置するというものである(図左)。なお、赤い線は、内側と外側の立方体が長い対角線を一本共有していることを示したもので、これが通る内部立方体の2頂点は面に接していないことになる。

 この解を外側の立方体の面に投影すると、図中央のようになる。この投影図も、解の対称性から、面白い特徴を持っていた。

 いわゆる、平面、立面、側面の、直交する三軸で描かれた三図が合同な投影図になっているのである。「真正面・真横・真上」の、どれもが正方形となる三面図の他には、立方体の三図が合同になる視点はこれだけである(間違いないはず)。図学などではよく知られた話なのかもしれないが、立方体の隠れた顔を見つけた思いである。図右は、その投影図を面に描いた、外側の立方体の展開図である。

正二十面体≒正四面体×202011/01/24 22:18

正二十面体≒正四面体×20
 正方形に正三角形のメッシュの折り目をつけたもの(図上 左)をいろいろと折ってみた。以前も試したパターンで既視感があったが、裏表を使った二色の正八面体(写真上 中と右)などが、きれいにまとまった。そして、凹んだ「五角形」(写真中 左)もできたのだが、これには、一瞬とまどった。この立体の穴の部分は正四面体である。では、この立体が示すように、五つの正四面体をすきまなく貼り合わせることができるのか? じっさいは、そんなことはない。正四面体の二面角は約70.5度で、360度/5=72度に近いが、ぴったりではない。

 しかし、近い値ではある。これは、つまり、正四面体20個で正二十面体が近似できるということである(図下 左)。これは、ほとんど考えたことがなかった。
 ということで、いわゆる「テトラパック」20個で正二十面体をつくるというアイデアが浮かんだ。そして、さきほど、個包装のまめ菓子を買ってきて、じっさいにつくってみた。ちょうど20袋入りだったのはよかったが、この四面体の面は、正三角形からけっこうずれた二等辺三角形だったので、すきまがすこし多くなっってしまった。

『本格折り紙√2』図のミス 22011/01/25 21:20

『本格折り紙√2』図のミス 2
105ページ 「賽は分けられた」展開図
赤い線で示したもの

誤:鎖線(山折り)
正:破線(谷折り)

指摘くれた読者のかた、ありがとうございました。

丸石神その302011/01/25 21:22

山梨県立博物館の丸石神
 先週末、山梨県立博物館の企画展・「甲府道祖神祭り」を観てきた。幕絵と呼ばれる、陣幕のような幕に描かれた絵(歌川広重筆)の展示を主としたものである。
 道祖神そのものを扱った展示ではなかったが、初めて見る資料など、いくつか新しい知識を得た。

 ひとつは、明治五年の、門松、削りかけ、節分の鬼やらい、道祖神祭りを禁止する布告が、以前ここに書いた藤村紫朗氏ではなく、土肥実匡氏の署名によるものだったことである。藤村紫朗氏が県令(権令)になったのは明治六年だった。
 美術財産であったこれらの幕絵は、数点を除き、この布告などにより、廃棄されたというから、もったいない。
 山梨県立博物館の観覧は3回目だったが、敷地内に丸石神があることを今回初めて知った。写真がそれで、昭和はじめにつくられた「本物」を「遷座」したものだそうだ。ミュージアムショップでは、道祖神祭りの絵葉書とクリアフォルダーを買った。

『江戸幻獣博物誌』2011/01/27 00:09

『江戸幻獣博物誌』
 『江戸幻獣博物誌』(伊藤龍平著)を読んでいて、「蛇、化してタコとなる」という話が、気になった。

 蛇が岩に自らの体を打ちつけて、その身を裂き、蛸になることがある。しかし、脚が七本なので区別がつく、という内容を類型とする話で、全国に伝わっているとのことだ。近代になっても伝承されたようで、昭和初頭に長崎県五島列島の久賀島で採話された例があるという。その資料(『柳田國男未採択昔話聚稿』)において、この話は「此は昔話ではなく、実際談です」と締めくくられているという。
 ということで、まずは、思いがけないところに、縁のある久賀島がでてきたことがうれしかったのである。同島には、二度訪島し、村史等の文献を調べたことがある。「折紙」という地名の由来に気をとられていたので、蛸の話は記憶がないけれど。

 さて、この「蛇、化してタコとなる」は、近代的な生物学の知識が常識となる以前のお話ということになるのだろうが、こうした伝承にも、事実のきっかけがあったのではないかと想像すると、たのしい。
 この話からわたしが連想したのは、正式に発見されたのがついこの間(学名がつけられたのが2005年)の、ミミックオクトパスというタコである。TVで視たのだが、こいつは、ヒラメやカサゴ、イソギンチャク、そして、ウミヘビに擬態する「技」を持っているのだ。主な生息地は東南アジアの近海のようだが、久賀島の話も、まさに「実際談」かもしれない。

 江戸後期の『信濃奇勝録』という書物に記された「石羊」(上掲引用写真)にも想像をかきたてられた。岩山に棲む、ジャコウウシみたいに毛の長い謎の動物である。絵を見ると、なんじゃこりゃだが、「大きさ鹿の如く、毛色も鹿の如し。中に黒白の斑あり」などといった記述はリアルで、カモシカと考えるのが一番妥当なのだろう。冬毛のカモシカは、ここまでではないが、けっこうモコモコしているし、毛色が白黒のものもある。

 なお、蛸の話は、曲亭馬琴(滝沢馬琴)がまとめた奇談集『兎園小説』にも記されているという。『兎園小説』といえば、同書で最も有名なエピソードは、それを表した絵がいわゆるUFOに見える「うつろ舟」事件である。これに関しては、以前読んだ『江戸「うつろ舟」ミステリー』(加門正一著)という本も面白かった。

新月旗2011/01/29 17:37

新月旗
 灯油を節約しようと、ここ数日、就寝時は暖房を切っていた。外は零下10度である。一昨日、寒さのためか、夜明け前にふと目が覚めた。外が妙に明るく、あれっと思うと、月齢23の下弦をやや過ぎた月が輝いていた。寒月(かんげつ)、凍月(いてづき)という言葉を思い浮かべた。半月からさらに欠けていても、月というのはけっこう明るいのだ。満月ともなれば、本が読めそうなぐらいになる。また、案外気がついていないひとが多いが、太陽とは逆に、月は冬のほうが高度があるので、よりその光を感じる季節でもある。木の間隠れに、月のそばに見えた星は、金星とさそり座のアンタレスのようだった。

 明日1月30日早朝の月齢は25.5の二十六夜、いわば「逆三日月」である。月が金星に近づいていくことになるはずなので、トルコやパキスタンの旗のような、いわゆる「新月旗」の配置が見られるかと、なんとなく期待し、確認してみた。予想通り月と金星は近かったが、金星に対する月の向きがよくなかった。金星ではなく、アンタレスがよい向きにあるが、これはちょっと遠かった。

 新月旗のような細い月と明るい星という位置関係は、2001年の木星食のときがみごとだったが、近いところではいつごろが見頃になるだろうかと、調べてみたら、今年の7月28日早朝がけっこうよかった。月齢26の月と火星である(図左)。

 そして、新月旗がそもそもどうなっているのかを、きちんと見てみようと思ったのだが、これには興味深いものがあった。

 まず、月を使った国旗は、10余りあった。すぐに気がつくのは、どの月も、内側の弧が円弧になっていることだ。じっさいの月の内側の弧は、夜と昼の境が大円になり、それを斜めから見たものなので、楕円弧になる。リアルに描けばよいというものでもなく、なるほど、月というのはこういうふうに記号化するのが一般的なんだなと納得した。思い出したのは、往年の忍者マンガ『伊賀の影丸』である。忍者ものなので、夜のシーンが多いのだが、横山光輝さんの描く月がこういうかたちだったのだ。
 円弧の描きかたは、国によって微妙な違いもあった。たとえば、トルコ、アルジェリア、チュニジアなどの月の内側の弧は、半径が小さい「横山光輝風」であるのに対して、パキスタンやモルディブのそれは、より現実の三日月や二十六夜頃の月に近かった。

 星の位置や数もさまざまである。星の数はひとつのものが多いが、ウズベキスタンは12個、コモロは4つ、トルクメニスタンは5個である。この5という数は州の数だそうだが、すばる(プレアデス星団)もほうふつとさせた。すばるはほぼ黄道上にあるので、じっさいに月と近接することもある。細い月とすばるの接近は、近いところでは、4月7日であった。月齢は約3で、すばると月の角距離は数度である(図右)。

 星の位置も、月の欠けた部分の上にあるものとそうでないものがあり、月の向きにも違いがある。単に右向き左向きだけではない。パキスタンの国旗は、星の位置でいえば、月の欠けた部分にあり、写実ではないのだが、月の向きは、意図したものなのかはわからないが、リアルであった。やや斜めに、受け皿のような向きに描かれているのだ。低緯度地域においては、細い月はそういう向きになる。月が細くなるのは、地平線のすぐ「下」に太陽があり、その「上」に月があるような位置関係のときである。三日月は、太陽を追うように沈んでいき、二十六夜頃の月は太陽に追いかけられるように昇っていく。低緯度地域の太陽の軌道は地平線と直角に近くになるので、細い月は受け皿の向きになるのだ。

4と82011/01/31 00:26

 『数覚とは何か - 心が数を創り、操る仕組み』(スタニスラス・ドゥアンヌ著 長谷川眞理子小林哲生訳)という本を読んだ。
 動物やヒトが数を扱う能力について、認知科学者が書いた本で、数を把握する感覚が生得的なものであることが主題である。直感に反さないかたちでの数学教育という観点から、公理主義的な構成のカリキュラムに対する批判も述べられている。

 いわゆる文明化される以前の人類の数概念が、「ひとつ、ふたつ、みっつ、たくさん」であるという話をよく聞くが、計測能力が、4より大きくなると概数的になるのは、じっさいにたしからしいことなども書いてある。

 ここで思い出したのが、以前、『数(日本の名随筆89)』(安野光雅編)で読んだ、『日本人の数概念の成立』(大矢真一著)というエッセイだった。日本語の数詞 - 中国語起源の「いち、に、さん、し…」ではなく、やまとことばの「ひとつ、ふたつ、みっつ、よっつ…」- に関する興味深い話があったのだ。
…これに最初に気づいたのは、江戸時代の儒者荻生徂徠であって、彼はその著書『南留別志』のなかで、
「『ふたつ』は『ひとつ』の音の転ぜるなり。『むつ』は『みつ』の転ぜるなり。『やつ』は『よつ』の転ぜるなり。『いつつ』『ななつ』は『いずれ』『なに』ということなり。『ここのつ』は『ここら』『ここだく』の『ここ』なるべし。『とお』は『つづ』の転ぜるなり。『つづ』とは、ここにいたりて、算をつづめて、一にするなり」
と述べている。ここで、「ここら」「ここだく」はどちらも「いくばく・いくら」という意味で、転じて「多数」の意味にももちいられる。
『日本人の数概念の成立』(大矢真一)

 ここで一番面白いのは、1,2,3,4,5,6,7,8,9において、1と2がH音、3と6がM音、4と8がY音という対応があるという指摘である。これを読むまでは、考えたこともなかったが、たしかにそうで、これはなにかがありそうだなあと思う。

 エッセイで示されていた、本邦の数詞の成立をわたしなりに解釈すると、次のようにまとめることができる。

一、二
「ひとつ」「ふたつ」という数詞ができた。(上記エッセイには説が示されていたが、とりあえず、これの起源は問わない)
「ひとつ」「ふたつ」に「ます(増す)」「むれ(群れ)」「みつ(満つ)」などの「多く」を意味するM音の「みっつ」が加わった。(白鳥庫吉説から)
「みっつ」までで足りなくなったとき、「いや」「いよいよ」など、やはり「多数、おわり」を意味するY音の「よっつ」が加わった。(白鳥庫吉説から)
さらに新しい数詞が必要になったとき、「いずれ」、つまり「よくわからん」という意味で「多数」を意味する「いつつ」が加わった。(徂徠説から)
六、八
「ひとつ」と「ふたつ」という語の子音が同じで、かつ「値」が倍であることを参照して、「みっつ」→「むっつ」と「よっつ」→「やっつ」がうまれた。(すでにあった「ひとつ」と「ふたつ」を参照したというのはわたしの解釈)
「むっつ」と「やっつ」ができたとき、7は倍数で解釈できなかったので、「なんだかわからん」の「な」になった。(徂徠説から)
 つまり、8までで考えると、素数ではない4と8は、名前としても「合成数」になっている(?)ということである。
 以上、あくまでも、上記エッセイを参照したわたしの解釈で、現在の説がどうなっているのかも、まったく知らない。