付箋ピラミッドと正八面体骨格2010/01/08 23:46

付箋ピラミッド
 三つの正方形を、頂点が接するように互いに交差させると、体積を持たない「三面体」ができる。できあがったそのかたちは、正八面体の骨組みになる。折り紙でも、ロバート・ニールさんの作品や拙作など、作例がいくつかあるかたちだ。

 そして、写真。これは、その正八面体骨格を半分にしたものだが、今日、ふと、正方形の付箋を「めくるだけ」でこのかたちになることに気がついた。めくるだけと言っても、紙が紙を突き抜けないといけないので、切り込みは必要である。切り込みのしかたには複数の方法があり、単純だけれど、ちょっとトリッキーだ。

 この正八面体骨格は、ロズウェル事件にも登場する。1947年、ニューメキシコ州ロズウェル付近で、「不思議な物体」が回収されたという、あの事件である。残念ながらというべきか、ロズウェル事件は、地球外からの飛来物でも異星人でもなんでもなく、プロジェクト・モーガルという軍の実験だったことがほぼ確実だが、その実験で使われたレーダーターゲットのかたちが、この正八面体の骨組みによく似ているのである。たとえばここ(The Committee for Skeptical Inquiry)に図がある。

 レーダーターゲットというのは、XYZどの軸にも反射させるために、この形状がよいらしい。これは、ヨットなどの小型船舶でも使われている。強化プラスティックのヨットはレーダーに映りにくいため、レーダーリフレクターなるものをつけることがある。たとえば、これだが、「折りたたみ式」とあるように、折り畳みにも向いたかたちである。

鶴ではないものが入っている千羽鶴2010/01/10 11:18

 せきしろさんと又吉直樹さんの自由律俳句集『カキフライが無いなら来なかった』に、以下の句があった。
ちょっと違う鶴も入っている千羽鶴 (詠:せきしろ)

 日本折紙学会のスタッフ会議で、「最近、千羽鶴でくちばしの部分を折ってはいけないという風説がひろまっている。『首を折る』に通じるということらしい」という話題がでて、ちょうど、その帰宅の電車で読んだ。以下のような変奏も考えた。

 鶴ではないものが入っている千羽鶴

 この句集は、なかなかに味わい深い。
お湯が六分の一ぐらいの湯船でじっと待つ
醤油差しを倒すまでは幸せだった (詠:せきしろ)
へんなとこに米が入ってとれない。
潰れてた日本一上手い店という看板を残して (詠:又吉直樹)

 以前、妻とチャットをしていて(ということ自体、すこし恥ずかしいが)、なにか書いたあとに(放哉)をつけるという遊びをやった。ちなみに、放哉は、尾崎放哉(ほうさい)のことで、「咳をしても一人」などで知られる、種田山頭火(「うしろすがたのしぐれてゆくか」)と並ぶ、自由律の俳人である。
 似たようなことは、エッセイストの宮田珠己さんもやっていたが、ただのチャットの言葉が、(放哉)をつけるだけで、もっともらしくなるのだった。

応答せよ だめか だめだ(放哉)
鍋の野菜を食べ尽くした(放哉)
脚が四本しかない虫(放哉)

↑放哉の句ではない(後山)
後山という俳号を考えてみた しゃらくさい(後山)

チェス盤と禅寺2010/01/11 13:04

東福寺方丈北庭
彼は普段ぼんやり歩道を歩いている時でも、正方形の敷石に出会った途端、立ち止まって足元を凝視しないではいられないという癖を持っていた。チェスに出会って以降、チェス盤を構成する正方形に偏愛を抱いていたのだった。
『猫を抱いて象と泳ぐ』」(小川洋子著))

 正方形の敷石を見つめるこのひとは、作中、チェス好き老人のための専用住宅をつくったチェス連盟の会長である。
 「彼は普段ぼんやり歩道を歩いている時でも、対称性の面白い敷石に出会った途端、立ち止まって足元を凝視しないではいられないという癖を持っていた。また、折り紙に出会って以降、折り紙の基本となる正方形に偏愛を抱いていたのだった」と書き換えれば、わたしのことにほかならない。

 小説は、寓話的な道具立てと登場人物で構成された、まさに小川さんの世界。文学少女がそのまま大人になったひとという小川さんのイメージどおりだった。

 瑣末なことなのだが、同書中にでてくる「正立方体」という言葉が気になった。正六面体、立方体という言葉にはなじみがあるが、正立方体はなじみがなかったのだ。しかし、ネットを検索すると、けっこう使われている言葉のようだった。立方体という言葉だけで、正方形六面からなるプラトン立体のひとつを表しているが、それに「正」がつくのは、まん真ん中の「まん」のようなものなのかと思った。

 そして、写真は、京都・東福寺の方丈の北庭(裏庭)。わたしが、これまでで最もグッときた庭である。(といっても、そんなにたくさんの庭を見てのことではない) 日本庭園の研究家にして作庭家の重森三玲(しげもりみれい)の1939年の作で、同じ東福寺の芬陀院のような時代を経た寂びはないとも言えるが、初めてみたときは釘付けになった。幾何学的秩序とランダムネスの配合が絶妙である。普段使っているコンピュータの壁紙にもしている。(普段それを使っていても、悟りの境地はまったくない)

丸石神その262010/01/11 22:56

高根町海道道祖神まつり
 丸石神その2に写真を載せた北杜市高根町箕輪海道の丸石神に、ピラミッド状のみごとな「オコヤ」がかけられているのを確認した。道祖神まつりのかざりつけである。
「オコヤ」の形状は、きれいな四角錐。こどもたちの書いた書き初めがいくつもつけられていたが、どんど焼きで書き初めを燃やすと字が上達するという伝統の風習どおりである。
 てっぺんの藁細工は、船のようにも二本の角のようにも見える。幣束の色が赤いのは、今年の吉方なるものが二十四方位の庚(西やや南)なので、南を意味する赤とか? でもどっちかというと庚は西だよな。毎年赤なのかもしれないし…。

 なお、今日見た丸石さんでは、北杜市大泉町城南は、石に飾りはないけれど、立派な幟があり、高根町長沢、大泉町宮地はとくになにもなしだった。
 もっと各地の道祖神まつりの造形を調べたいのだけれど、時間がないなあ。残念。

無限の御幣2010/01/12 23:41

無限の紙垂
 一年で最も御幣(紙垂:しで)を見る季節なので、今日は、それのことをちょっと考えた。

 野崎昭弘さんの『数学的センス』という本に、安野光雅さんによる「夢幻の御幣」というもの(図上。「夢幻」は「無限」とかけたもので、変換ミスではない)が載っている。稲妻型の紙垂(吉田流の紙垂)を基本にして、切る部分がどんどん細くなり、理論的にはどこまでも続く紙垂である。
 このような無限の紙垂を、相似長方形の連なり(図中)にするためには、用紙のかたちはどうなるか? というのが、さきほど思いついた問題である。

 (長さの)縮小率を1/2とすると、元の長方形がどうあっても、左右交互に、1/4の長方形を取り除いて行くかたちになる、というのがその答え。(図下:赤が取り除く部分である。なお、規則を明瞭にするため、一番大きい部分には、それより大きい仮想的な部分につながる折り返し(図の点線)があると想定している)
 極限の点Pが、辺を1対2に分割する点(つまり三等分点)に収束し、取り除く面積も全体の1/3になるというのは、ちょっと面白い。(1/4+/1/16+1/64+....=1/3)

最大体積円錐とマラルディの角度2010/01/13 23:15

最大体積円錐
 今年になってから、ブログの更新が頻繁で、われながらどうしたのかと思うのだが、今日も更新である。どんなことにも「慣性」というものがあるのだろう。

さて。
 『本格折り紙』、『本格折り紙√2』と上梓したので、先日、次は何?と訊かれた。なんの考えもなく、反射で「√3とか」と応えると、同席していたひとが「πというのもあるよ」と言った。
 なるほどと思ったけれど、考えてみれば、すでに『折り紙π』に相応しい、三谷純さんの『ふしぎな球体・立体折り紙』という本がでたばかりであった。
 また、球面の折り紙の数学ついては、川崎敏和さんの研究が進んでいる。

 球面ではなく、円形膜の変形に関しては、まだ掘ることのできる鉱脈があるかな、とは思っている。『Origami4 - Fourth International Meeting of Origami Science, Mathematics, and Education』(R. J. Lang 編)に載った『フォーチュンクッキーの幾何学的系統樹』という論文は、わたしの中では、「円形折り紙」のいわば序説なのである。いつも、序説止まりなんだけれど。

 というように、円形膜の変形には、漠然とした関心を持っているわけだが、昨日、『機械じかけの数学-リーマンの定理、オイラーの公式への力学的アプローチ』(マーク・レヴィ著、松浦俊輔訳)という、買ったばかりの本をぱらぱらとめくっていて、その関心の釣り針にちょっとひっかかる、次のような折り紙的な問題に遭遇した。

問題:円にひだ寄せて円錐をつくる場合、側面になる扇型の角度をどうすれば、最大体積の円錐になるか

 本では、この問題を変わった方法で解いている。最大体積の問題と、気体のはいった円錐の容器における側面と底面の力のモーメントが釣り合う問題が等しくなることを示し、それを解くのである。立体が単純だからこれで解けるとも言えるし、普通に解いたほうが早いとも言えるが、面白い。なお、そのとき、直接解く値は、展開された扇型の角度ではなく円錐の母線がつくる「頂角」である。

 いっぽう、普通に解く方法は、入試問題みたいな感じになる。式をたてて、微分してそれがゼロになる極値を求めればよい。扇型の角度で解けば、それは、(2√2/√3)πラジアン、度でいえば、293.938..度となる。なお、入試問題テクニック風に言えば、扇型の角度を変数とした関数で解くより、円錐の高さを変数として解いたほうがはるかに式が簡単になる。
 そして、この簡単さは、答えの「美しさ」にもつながる。扇型の角度は、いまひとつ「すっきりしない値」だが、円錐の母線がつくる「頂角」のほうは、おっと思う値になっているのだ。これは知らなかった。

 円錐の半径と高さの比が√2対1になる場合が、体積最大なのである。つまり、この円錐の母線のなす角度は、ダイヤモンドの結晶や蜂の巣の末端、石鹸膜などに見られる特別な角度「マラルディの角度」なのであった。

折り紙的ペンダントライト2010/01/14 23:48

折り紙的ペンダントライト
 先日、ショーウィンドウで見た、曲線の折り目をつけた長方形で構成された、ペンダントライト。メーカー等は不明。
 シンプルでかっこよいけれど、熱量のあるランプだと、ちょっと心配な構造。

可能世界空間論2010/01/16 02:07

可能世界空間論
 15日の晩、初台の東京オペラシティ・NTTコミュニケーションセンターICCで、1月16日から2月28日まで開催される可能世界空間論の内覧会とレセプションに行ってきた。
 コンピュータを使った折り紙を研究テーマとする折り紙新世代のホープ・舘知宏さんの展示があるというつながりだが、行ってみて、設営スタッフのひとりが、多面体フォーラムで顔なじみの西野隆史さんだったのは、ちょっとびっくりした。

 そして、田中浩也さんとその研究室の岩岡考太郎さん・平本知樹さんの展示(写真左)で、前の前の記事で話題にしたマラルディの角度(109.47..度)に遭遇した。
 ものは、木でできた四本脚または三本脚のパーツを使い、多面体や樹状のオブジェを増殖させるシステムである。いま見れば、平本さんの「知樹」という名は、これにぴったりである。
 ただ、マラルディの角度は、板の弾性を生かして近似で使っていた。わたしが同様のシステムを考えた場合、角度のバリエーションのつけかたを別のタイプにするかもしれない、などと自分の思考実験にはまってしまった。

 他の展示も刺激を受けるものばかりで、また、同じ東京オペラシティで、やはり明日から『エレメント - 構造デザイナー・セシル・バルモンドの世界』という展覧会が始まることを西野さんから教えてもらったのだが、これも、案内パンフレットを見るだけでもツボだった。

 写真右は、舘知宏さんの展示のひとつ、大きな剛体折り紙である。剛体折り紙というのは、面が歪まずに可動となる折り目の組み合わせのこと。これは、観覧者が動かしてみることができる。

 今日は、たまたま、東京で会議があって、いつもの週より早い時間に東京に戻ったので、内覧会に顔を出せたのだが、マラルディの角度との遭遇など、偶然はたのしいなあ。

七・五・四2010/01/16 15:30

七本スポーク
「スポークが七本の車のホイールも、ボルトはだいたい五個でしょう。あれは気持ちが悪いなあ」

 暮れに、造形作家の日詰明男さんが来たときの、彼のつぶやきである。
 話の流れをよく覚えていないのだが、「車のホイールを見て、七回の回転対称だとか感心しているひとは、あなたと日詰さんしか知らないわ」という妻の弁から始まった話だったと思う。

 七回回転対称のスポークが増えたのは、ここ10年ぐらいの傾向のような気がする。そして、ボルトの数は四本というものもある。

折鶴と客星と2010/01/17 12:53

 国立天文台ニュース2010.01の小栗順子さんの、藤原定家とメシエ1星雲を扱った切り絵に、折鶴を見つけた。小栗さんは、お会いしたことはないが、国立天文台図書館司書で切り絵作家というかたで、国立天文台のカレンダーにも、すばらしい作品を提供している。

 …で、細かいこと。デザイン的な配置なので問題はないけれど、藤原定家(1162- 1241)の時代に、折鶴はたぶんない。文献上たしかな折鶴の存在は、17世紀末頃である。もっとも、定家撰の百人一首を元にした歌かるたも江戸期のものなので、かるたと折鶴という図案は相応しいとも言える。

 なお、後年メシエ1(超新星残骸、かに星雲)と言われることになる超新星の出現に関して定家が書きのこした『明月記』(『名月記』は誤植)は、後世そう名付けられた日記で、以下のように記されている。

後冷泉院 天喜二年四月中旬以後丑の刻 客星 觜 参の度に出づ 東方にあらわる 天関星に孛す 大きさ歳星の如し
(『明月記』藤原定家 から読み下し)

 天喜二年は1054年で、「客星」は突然現れた星のこと。「觜」はオリオン座λ星・メイサ、「参」はオリオン座δεζの三つ星、「天関星」は牡牛座ζ星、「歳星」は木星のことだ。
 というように、この超新星出現は、定家の実見ではなく、伝聞である。

 そして、最近のニュースによると、オリオン座α星・ベテルギウスも、近く超新星爆発する傾向が見られるという。ベテルギウスは近い(と行っても600光年以上だけれど)ので、超新星爆発すると、満月と同じぐらいの等級になるらしい。しかもそれが一点集中で光るわけだ。まあ、天文スケールなので、いつのことかはわからないけれど、見てみたいような…。

XX年X月以後 平家星 眩耀 月の如し

(源氏星→平家星:諸説あるらしいけれど。修正 1/19)
 しっかし、このネタ、マヤ暦の2012年がどうとかと一緒に、終末論のひととかが使いそうだなあ。(じつは、暮れに映画『2012』を観てしまった)