『表裏同等折りの定義』再考 ― 2008/11/03 21:34
『折り紙の数理と科学』（Thomas Hull 川崎敏和監訳／原著『Origami3 Third International Meeting of Origami Science, Math and Education, 2001』）に載せてもらった『表裏同等折りの定義』というわたしの論文に、ミスを見つけた。以前も同論文中の「シルバーキューブ」の図に誤りがあって訂正したのだが、ほかにも見落としていた。ひさしぶりに読んで気がついた。
自分の校正が甘いのに呆れた。ミスは恥ずかしいが、じつは、問題はそれではない。
自分の論文をひさしぶりに読んだのはほかでもない。この論文で提案した定義自体に疑問が生じたからである。
きっかけは、昨日の「ツイステッドコーン」 である。これは、直感的には、表裏同等と言ってよいモデルである。しかし、この論文の定義には反するのだ。
表裏同等というのは、川崎敏和さんの作例によって生まれた概念で、ざっと言えば「紙の表も裏も区別をつけられない折り紙モデル」のことである。たとえば、折り鶴は紙の外に出ているのは表で、紙の裏は完全に隠れる。（逆でもよいが同じことだ） しかし、折り鶴などと違って、表も裏も同じように現れるモデルがある。そうしたモデルの数学的特徴を見いだして、まとめたものが以下である。
表裏同等モデルとは、n回の回反対称 (n-fold rotational inverse symmetry) のモデルのことである。ただし、その場合の回転軸は展開された平面に対して垂直である。
（なお、「回反対称」(rotational inverse symmetry)というのは、「反転し、回転させると同じ図形になる」ということである。）
しかし、「ツイステッドコーン」はこれに該当しない。もっと単純な例を考えることもできる。例えば、図にあげたものだ。これも表裏同等折りに含めたほうがよいのではないか。これは、正方形の対角線を回転軸とした回転対称で、回反対称ではない。
(1)ヘキサキューブの図：線の種別に誤りがあった。（上の図の赤い部分：上の図は修正済み）
(2)表中の人名でバルとあるのはハルが正しい。
自分の校正が甘いのに呆れた。ミスは恥ずかしいが、じつは、問題はそれではない。
自分の論文をひさしぶりに読んだのはほかでもない。この論文で提案した定義自体に疑問が生じたからである。
きっかけは、昨日の「ツイステッドコーン」 である。これは、直感的には、表裏同等と言ってよいモデルである。しかし、この論文の定義には反するのだ。
表裏同等というのは、川崎敏和さんの作例によって生まれた概念で、ざっと言えば「紙の表も裏も区別をつけられない折り紙モデル」のことである。たとえば、折り鶴は紙の外に出ているのは表で、紙の裏は完全に隠れる。（逆でもよいが同じことだ） しかし、折り鶴などと違って、表も裏も同じように現れるモデルがある。そうしたモデルの数学的特徴を見いだして、まとめたものが以下である。
表裏同等モデルとは、n回の回反対称 (n-fold rotational inverse symmetry) のモデルのことである。ただし、その場合の回転軸は展開された平面に対して垂直である。
（なお、「回反対称」(rotational inverse symmetry)というのは、「反転し、回転させると同じ図形になる」ということである。）
しかし、「ツイステッドコーン」はこれに該当しない。もっと単純な例を考えることもできる。例えば、図にあげたものだ。これも表裏同等折りに含めたほうがよいのではないか。これは、正方形の対角線を回転軸とした回転対称で、回反対称ではない。
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